Geometriset polut ja pensaat

Tätä artikkelia kirjoittaessani muistin hyvin vanhan Jan Pietrzakin laulun, jonka hän lauloi ennen satiirista toimintaansa kabareessa Pod Egidą, joka tunnustettiin Puolan kansantasavallassa varoventtiiliksi; järjestelmän paradokseille voisi rehellisesti nauraa. Tässä laulussa kirjoittaja suositteli sosialistista poliittista osallistumista, pilkataan niitä, jotka haluavat olla epäpoliittisia ja sammutetaan radio sanomalehdestä. "On parempi palata kouluun lukemaan", silloin XNUMX-vuotias Petshak lauloi ironisesti.

Palaan kouluun lukemaan. Luen uudelleen (ei ensimmäistä kertaa) Shchepan Jelenskyn (1881-1949) kirjaa "Lylavati". Harvoille lukijoille sana itsessään kertoo jotain. Tämä on kuuluisan hindumatemaatikon Bhaskara (1114-1185) tyttären nimi, Akaria tai viisas, joka nimesi algebra-kirjansa tällä nimellä. Lilavatista tuli myöhemmin itsekin kuuluisa matemaatikko ja filosofi. Muiden lähteiden mukaan hän kirjoitti kirjan itse.

Szczepan Yelensky antoi saman otsikon matematiikkakirjalleen (ensimmäinen painos, 1926). Tätä kirjaa voi jopa olla vaikea kutsua matemaattiseksi teokseksi - se oli enemmänkin arvoituksia ja suurelta osin uudelleen kirjoitettu ranskalaisista lähteistä (tekijänoikeuksia nykyisessä mielessä ei ollut olemassa). Joka tapauksessa se oli monta vuotta ainoa suosittu puolalainen matematiikkakirja - myöhemmin Jelenskyn toinen kirja, Pythagoras's Sweets, lisättiin siihen. Joten matematiikasta kiinnostuneilla nuorilla (joka oli juuri sellainen kuin minä kerran olin) ei ollut mitään mistä valita...

toisaalta "Lilavati" piti tuntea melkein ulkoa... Ah, oli aikoja... Niiden suurin etu oli, että olin... teini-ikäinen silloin. Tänään katson Lilavatia hyvin koulutetun matemaatikon näkökulmasta aivan eri tavalla - ehkä kuin kiipeilijä Shpiglasova Pshelenchiin johtavan polun mutkissa. Kumpikaan ei menetä viehätysvoimaansa ... Tunnusomaisella tyylillään Shchepan Jelenski, joka tunnustaa henkilökohtaisessa elämässään niin sanottuja kansallisia ajatuksia, hän kirjoittaa esipuheessa:

Käsittelemättä kansallisten ominaisuuksien kuvausta sanon, että edes yhdeksänkymmenen vuoden jälkeen Jelenenskyn sanat matematiikasta eivät ole menettäneet merkitystään. Matematiikka opettaa ajattelemaan. Se on tosiasia. Voimmeko opettaa sinut ajattelemaan toisin, yksinkertaisemmin ja kauniimmin? Voi olla. Se on vain... emme vieläkään voi. Selitän opiskelijoilleni, jotka eivät halua tehdä matematiikkaa, että tämä on myös heidän älynsä koe. Jos et voi oppia todella yksinkertaista matematiikan teoriaa, niin... ehkä henkiset kykysi ovat huonommat kuin me molemmat haluaisimme...?

Merkkejä hiekassa

Ja tässä on ensimmäinen tarina "Lylavatista" - tarina, jonka kuvailee ranskalainen filosofi Joseph de Maistre (1753-1821).

Aallot heittivät haaksirikkoutuneen aluksen merimiehen tyhjälle rannalle, jota hän piti asumattomana. Yhtäkkiä hän näki rannikon hiekassa jäljen geometrisestä hahmosta, joka oli piirretty jonkun eteen. Silloin hän tajusi, ettei saari ole autio!

Mestriä lainaten Jelenensky kirjoittaa: geometrinen kuvase olisi ollut mykkä ilmaisu onnettomalle, haaksirikkoutuneelle sattumalta, mutta hän näytti hänelle yhdellä silmäyksellä mittasuhteen ja lukumäärän, ja tämä ennusti valistunutta miestä. Sen verran historiasta.

Huomaa, että merimies saa aikaan saman reaktion, esimerkiksi piirtämällä K-kirjaimen, ... ja muut jäljet ​​henkilön läsnäolosta. Tässä geometria on idealisoitu.

Tähtitieteilijä Camille Flammarion (1847-1925) ehdotti kuitenkin, että sivilisaatiot tervehtivät toisiaan etäältä geometrian avulla. Hän näki tässä ainoan oikean ja mahdollisen viestintäyrityksen. Näytetään sellaisille marsilaisille Pythagoraan kolmiot... he vastaavat meille Thalesilla, me vastaamme heille Vieta-kuvioilla, heidän ympyränsä mahtuu kolmioon, niin ystävyys alkoi...

Kirjailijat kuten Jules Verne ja Stanislav Lem palasivat tähän ajatukseen. Ja vuonna 1972 geometrisilla (eikä vain) kuvioilla varustetut laatat asetettiin Pioneerin luotain, joka edelleen ylittää avaruuden avaruuden, nyt lähes 140 tähtitieteellisen yksikön päässä meistä (1 I on Maan keskimääräinen etäisyys Maasta) . Aurinko, eli noin 149 miljoonaa km). Laatan suunnitteli osittain tähtitieteilijä Frank Drake, maan ulkopuolisten sivilisaatioiden lukumäärää koskevan kiistanalaisen säännön luoja.

Geometria on hämmästyttävää. Tiedämme kaikki yleisen näkökulman tämän tieteen alkuperään. Me (me ihmiset) olemme juuri alkaneet mitata maata (ja myöhemmin maata) mitä hyödyllisimpiin tarkoituksiin. Etäisyyksien määrittäminen, suorien viivojen piirtäminen, suorien kulmien merkitseminen ja tilavuuksien laskeminen tuli vähitellen välttämättömyyteen. Siksi koko juttu geometria ("Maan mittaus"), joten kaikki matematiikka ...

Tämä selkeä kuva tieteen historiasta kuitenkin hämärsi meitä jonkin aikaa. Sillä jos matematiikkaa tarvittaisiin vain toiminnallisiin tarkoituksiin, emme ryhtyisi todistamaan yksinkertaisia ​​lauseita. "Näet, että tämän pitäisi ylipäätään olla totta", joku sanoisi tarkistettuaan, että useissa suorakulmaisissa kolmioissa hypotenuusiden neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Miksi tällainen formalismi?

Luumupiirakan on oltava herkullista, tietokoneohjelman on toimittava, koneen on toimittava. Jos laskin piipun tilavuuden kolmekymmentä kertaa ja kaikki on kunnossa, niin miksi muuten?

Sillä välin muinaiset kreikkalaiset ymmärsivät, että muodollisia todisteita oli löydettävä.

Joten, matematiikka alkaa Thalesista (625-547 eKr.). Oletetaan, että Miletos alkoi ihmetellä miksi. Älykkäille ihmisille ei riitä, että he ovat nähneet jotain, että he ovat jostain vakuuttuneita. He näkivät todisteiden tarpeen, loogisen argumenttien sarjan olettamuksesta teesiin.

He halusivat myös enemmän. Todennäköisesti Thales yritti ensin selittää fyysisiä ilmiöitä naturalistisella tavalla ilman jumalallista väliintuloa. Eurooppalainen filosofia sai alkunsa luonnonfilosofiasta - siitä, mikä on jo fysiikan takana (tästä nimi: metafysiikka). Mutta pythagoralaiset (Pythagoras, n. 580-500 eKr.) loivat eurooppalaisen ontologian ja luonnonfilosofian perustan.

Hän perusti oman koulunsa Crotoneen Apenniinien niemimaan eteläpuolelle - nykyään kutsuisimme sitä lahoksi. Tiede (sanan nykyisessä merkityksessä), mystiikka, uskonto ja fantasia ovat kaikki tiiviisti kietoutuneet toisiinsa. Thomas Mann esitti erittäin kauniisti matematiikan oppitunnit saksalaisessa lukiossa romaanissa Tohtori Faustus. Kääntäjä Maria Kuretskaya ja Witold Virpsha, tämä katkelma kuuluu:

Charles van Dorenin mielenkiintoisesta kirjasta Tiedon historia historian kynnyksestä nykypäivään löysin erittäin mielenkiintoisen näkökulman. Yhdessä luvussa kirjoittaja kuvaa Pythagoraan koulukunnan merkitystä. Jo luvun otsikko iski minuun. Siinä lukee: "Matematiikan keksintö: Pythagoralaiset".

Keskustelemme usein siitä, onko matemaattisia teorioita löydettävissä (esim. tuntemattomat maat) vai keksitäänkö (esim. koneita, joita ei ennen ollut olemassa). Jotkut luovat matemaatikot pitävät itseään tutkijoina, toiset keksijöinä tai suunnittelijoina, harvemmin laskureina.

Mutta tämän kirjan kirjoittaja kirjoittaa matematiikan keksinnöstä yleensä.

Liioittelusta harhaan

Tämän pitkän johdanto-osan jälkeen siirryn aivan alkuun. geometriakuvaamaan, kuinka liiallinen geometriaan luottaminen voi johtaa tiedemiehen harhaan. Johannes Kepler tunnetaan fysiikassa ja tähtitiedessä taivaankappaleiden kolmen liikelain löytäjänä. Ensinnäkin jokainen aurinkokunnan planeetta liikkuu auringon ympäri elliptisellä kiertoradalla, jossa aurinko on yhdessä polttopisteistään. Toiseksi, säännöllisin väliajoin planeetan johtava säde, joka on otettu Auringosta, vetää yhtä suuret kentät. Kolmanneksi planeetan Auringon ympärillä olevan pyörimisjakson neliön suhde sen kiertoradan puolipääakselin kuutioon (eli keskimääräiseen etäisyyteen Auringosta) on vakio kaikille aurinkokunnan planeetoille.

Ehkä tämä oli kolmas laki - se vaati paljon tietoja ja laskelmia sen vahvistamiseksi, mikä sai Keplerin jatkamaan planeettojen liikkeen ja sijainnin mallien etsimistä. Hänen uuden "löytönsä" historia on hyvin opettavainen. Antiikista lähtien olemme ihailleet säännöllisten monitahojen lisäksi myös argumentteja, jotka osoittavat, että niitä on vain viisi avaruudessa. Kolmiulotteista monitahoista kutsutaan säännölliseksi, jos sen pinnat ovat identtisiä säännöllisiä monikulmioita ja jokaisessa kärjessä on sama määrä reunoja. Kuvaavasti tavallisen monitahoisen jokaisen kulman on "näytettävä samalta". Kuuluisin monitahoinen on kuutio. Kaikki ovat nähneet tavallisen nilkan.

Säännöllinen tetraedri on vähemmän tunnettu, ja koulussa sitä kutsutaan säännölliseksi kolmiopyramidiksi. Se näyttää pyramidilta. Loput kolme säännöllistä polyhedraa ovat vähemmän tunnettuja. Oktaedri muodostuu, kun yhdistämme kuution reunojen keskipisteet. Dodekaedri ja ikosaedri näyttävät jo palloilta. Pehmeästä nahasta valmistettuja niitä olisi mukava kaivaa. Päättely, jonka mukaan ei ole olemassa muita säännöllisiä monitahoja kuin viisi platonista kiintoainetta, on erittäin hyvä. Ensinnäkin ymmärrämme, että jos kappale on säännöllinen, niin saman määrän (olkoon q) identtisiä säännöllisiä monikulmioita on suppeneva jokaisessa kärjessä, olkoon nämä p-kulmia. Nyt meidän on muistettava, mikä on kulma säännöllisessä monikulmiossa. Jos joku ei muista koulusta, muistutamme kuinka löytää oikea kaava. Teimme matkan kulman takana. Jokaisessa kärjessä käännytään saman kulman a läpi. Kun kierretään monikulmion ympäri ja palataan lähtöpisteeseen, olemme tehneet p tällaisia ​​käännöksiä ja yhteensä olemme kääntyneet 360 astetta.

Mutta α on 180 asteen komplementti kulmasta, jonka haluamme laskea, ja on siksi

Olemme löytäneet säännöllisen monikulmion kulman kaavan (matemaatiko sanoisi: kulman mitat). Tarkistetaan: kolmiossa p = 3 ei ole a:ta

Kuten tämä. Kun p = 4 (neliö), niin

asteetkin kelpaa.

Mitä saamme viisikulmiosta? Joten mitä tapahtuu, kun on q monikulmiota, joissa jokaisella p on samat kulmat

 asteet, jotka laskevat yhdessä kärjessä? Jos se olisi tasossa, muodostuisi kulma

astetta ja se ei voi olla yli 360 astetta - koska silloin monikulmiot menevät päällekkäin.

Koska nämä monikulmiot kohtaavat avaruudessa, kulman on kuitenkin oltava pienempi kuin täysi kulma.

Ja tässä on epätasa-arvo, josta kaikki seuraa:

Jaa se 180:lla, kerro molemmat osat p:llä, järjestys (p-2) (q-2) < 4. Mitä seuraa? Huomioikaa, että p:n ja q:n on oltava luonnollisia lukuja ja että p > 2 (miksi? Ja mikä on p?) ja myös q > 2. Ei ole monia tapoja tehdä kahden luonnollisen luvun tulo, joka on pienempi kuin 4. listaan ​​ne kaikki taulukossa 1.

En julkaise piirroksia, kaikki näkevät nämä hahmot Internetissä... Internetissä... En kiellä lyyristä poikkeamaa - ehkä se kiinnostaa nuoria lukijoita. Vuonna 1970 puhuin seminaarissa. Aihe oli vaikea. Minulla oli vähän aikaa valmistautua, istuin iltaisin. Pääartikkeli oli vain luku -tilassa. Paikka oli kodikas, työilmapiiri, no, se suljettiin seitsemältä. Sitten morsian (nykyinen vaimoni) itse tarjoutui kirjoittamaan koko artikkelin uudelleen puolestani: noin tusina tulostettua sivua. Kopioin sen (ei, ei sulkakynällä, meillä oli jopa kyniä), luento oli menestys. Tänään yritin löytää tämän julkaisun, joka on jo vanha. Muistan vain kirjoittajan nimen... Etsinnät Internetissä kestivät pitkään... kokonaiset viisitoista minuuttia. Ajattelen sitä hymyillen ja hieman järjettömällä katumuksella.

Palaamme takaisin Keplera ja geometria. Ilmeisesti Platon ennusti viidennen säännöllisen muodon olemassaolon, koska häneltä puuttui jotain yhdistävää, koko maailman kattavaa. Ehkä siksi hän käski opiskelijaa (Theajtet) etsimään häntä. Kuten se oli, niin se oli, jonka perusteella dodekaedri löydettiin. Kutsumme tätä Platonin asennetta panteismiksi. Kaikki tiedemiehet Newtoniin asti antautuivat sille enemmän tai vähemmän. Äärimmäisen rationaalisen XNUMX-luvun jälkeen sen vaikutus on vähentynyt rajusti, vaikka meidän ei pitäisi hävetä sitä tosiasiaa, että me kaikki tavalla tai toisella alistumme sille.

Keplerin aurinkokunnan rakentamiskonseptissa kaikki oli oikein, kokeelliset tiedot osuivat yhteen teorian kanssa, teoria oli loogisesti johdonmukainen, erittäin kaunis ... mutta täysin väärä. Hänen aikanaan tunnettiin vain kuusi planeettaa: Merkurius, Venus, Maa, Mars, Jupiter ja Saturnus. Miksi planeettoja on vain kuusi? Kepler kysyi. Ja mikä säännöllisyys määrittää niiden etäisyyden Auringosta? Hän oletti, että kaikki liittyy toisiinsa geometria ja kosmogonia liittyvät läheisesti toisiinsa. Muinaisten kreikkalaisten kirjoituksista hän tiesi, että säännöllisiä monitahoja oli vain viisi. Hän näki, että kuuden kiertoradan välillä oli viisi tyhjää tilaa. Joten ehkä jokainen näistä vapaista tiloista vastaa jotakin säännöllistä monitahoista?

Useiden vuosien havainnoinnin ja teoreettisen työn jälkeen hän loi seuraavan teorian, jonka avulla hän laski melko tarkasti kiertoratojen mitat, jonka hän esitteli vuonna 1596 ilmestyneessä kirjassa "Mysterium Cosmographicum": Kuvittele jättiläinen pallo, jonka halkaisija on Merkuriuksen kiertoradan halkaisija sen vuotuisessa liikkeessä auringon ympäri. Kuvittele sitten, että tällä pallolla on säännöllinen oktaedri, sillä pallo, siinä ikosaedri, siinä taas pallo, sillä dodekaedri, siinä toinen pallo, siinä tetraedri, sitten taas pallo, kuutio ja lopuksi tässä kuutiossa pallo on kuvattu.

Kepler päätteli, että näiden peräkkäisten pallojen halkaisijat olivat muiden planeettojen, Merkuriuksen, Venuksen, Maan, Marsin, Jupiterin ja Saturnuksen, kiertoradan halkaisijat. Teoria vaikutti erittäin oikealta. Valitettavasti tämä osui yhteen kokeellisten tietojen kanssa. Ja mikä olisikaan parempi todiste matemaattisen teorian oikeellisuudesta kuin sen vastaavuus kokeellisten tietojen tai havaintojen kanssa, erityisesti "taivaasta otettujen" tietojen kanssa? Teen yhteenvedon näistä laskelmista taulukossa 2. Mitä Kepler sitten teki? Yritin ja yritin, kunnes se onnistui, eli kun konfiguraatio (pallojen järjestys) ja tuloksena saadut laskelmat osuivat yhteen havaintotietojen kanssa. Tässä ovat nykyaikaiset Kepler-luvut ja laskelmat:

Voidaan alistua teorian kiehtomiseen ja uskoa, että taivaan mittaukset ovat epätarkkoja, eivät työpajan hiljaisuudessa tehdyt laskelmat. Valitettavasti tiedämme nykyään, että planeettoja on ainakin yhdeksän ja että kaikki tulosten yhteensattumat ovat vain sattumaa. Sääli. Se oli niin kaunista...