Koronavirus ja matematiikan koulutus – osittain tilatut kokoelmat

Meihin tartunnan saanut virus saa aikaan nopeaa koulutusuudistusta. varsinkin korkeammalla koulutustasolla. Tästä aiheesta voitaisiin kirjoittaa pidempi essee, etäopiskelumenetelmistä tulee varmasti virrana väitöskirjoja. Tietystä näkökulmasta tämä on paluuta alkuperään ja unohdettuihin itseoppimisen tottumuksiin. Näin oli esimerkiksi Kremenetsin lukiossa (Kremenetsissä, nykyisessä Ukrainassa, joka oli olemassa vuosina 1805-31, kasvusti vuoteen 1914 asti ja koki kukoistusaikansa 1922-1939). Opiskelijat opiskelivat siellä omatoimisesti - vasta oppittuaan opettajat tulivat mukaan korjauksia, lopullisia selvennyksiä, apua vaikeissa paikoissa jne. d. Kun minusta tuli opiskelija, he myös sanoivat, että meidän on hankittava tietoa itse, että yliopistossa voi vain tilata ja lähettää. Mutta sitten se oli vain teoria...

En ole keväällä 2020 ainoa, joka huomasi, että oppitunnit (mukaan lukien luennot, harjoitukset jne.) voidaan suorittaa erittäin tehokkaasti etänä (Google Meet, Microsoft Teams jne.) suuren työn kustannuksella opettajan puolelta ja toisaalta pelkkä halu "saada koulutus"; mutta myös mukavasti: Istun kotona, nojatuolissani ja perinteisillä luennoilla opiskelijat tekivät usein myös jotain muuta. Tällaisen koulutuksen vaikutus voi olla jopa parempi kuin perinteisellä, keskiajalta peräisin olevalla luokkatuntijärjestelmällä. Mitä hänestä jää jäljelle, kun virus menee helvettiin? Mielestäni… aika paljon. Mutta saamme nähdä.

Tänään puhun osittain tilatuista sarjoista. Se on yksinkertaista. Koska binäärirelaatiota ei-tyhjässä joukossa X kutsutaan osittaisen järjestyksen relaatioksi, kun se on olemassa

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosofi,

Puolan tiedeakatemian presidentti 1957–1962).

1. Refleksiivinen, eli jokaiselle ∈ on olemassa ",
2. Ohikulkija, ts. jos ", ja ", niin ",
3. Puoliepäsymmetrinen, ts («∧«)→ =

Rivi on joukko, jolla on seuraava ominaisuus: kahdelle elementille se on joko "tai y" -joukko. Antichain on...

Pysähdy, lopeta! Voiko mitään näistä ymmärtää? Tottakai se on. Mutta onko kukaan lukijoista (tietäen toisin) jo ymmärtänyt, mitä tässä on?

En usko! Ja tämä on matematiikan opettamisen kaanoni. Myös koulussa. Ensinnäkin kunnollinen, tiukka määritelmä, ja sitten ne, jotka eivät nukahtaneet tylsyydestä, ymmärtävät varmasti jotain. Tämän menetelmän määräsivät "suuret" matematiikan opettajat. Hänen on oltava varovainen ja tiukka. On totta, että näin sen pitäisi loppujen lopuksi olla. Matematiikan on oltava tarkka tiede (Katso myös: ).

Minun on myönnettävä, että yliopistossa, jossa työskentelen Varsovan yliopistosta jäätyään eläkkeelle, opetin myös niin monta vuotta. Vain siinä oli pahamaineinen ämpäri kylmää vettä (jääköön se sellaiseksi: ämpäri tarvittiin!). Yhtäkkiä korkea abstraktio muuttui kevyeksi ja miellyttäväksi. Kiinnitä huomiota: helppo ei tarkoita helppoa. Myös kevyellä nyrkkeilijällä on vaikeaa.

Hymyilen muistoilleni. Minulle opetti matematiikan perusteet laitoksen silloinen dekaani, ensiluokkainen matemaatikko, joka oli juuri saapunut pitkältä oleskelulta Yhdysvalloista, mikä tuohon aikaan oli sinänsä jotain poikkeuksellista. Luulen, että hän oli hieman snobi, kun hän unohti puolan. Hän käytti väärin vanhaa puolalaista sanaa "mitä", "siksi", "atsalea" ja loi termin "puoliepäsymmetrinen suhde". Rakastan sen käyttöä, se on todella tarkka. Minä pidän. Mutta en vaadi tätä opiskelijoilta. Tätä kutsutaan yleisesti "matalaksi antisymmetriaksi". Kymmenen kaunista.

Kauan sitten, koska XNUMX-luvulla (viime vuosisadalla) toteutettiin suuri, iloinen matematiikan opetuksen uudistus. Tämä osui samaan aikaan Eduard Gierekin lyhyen hallituskauden alkamisen kanssa - maamme selvä avautuminen maailmalle. "Lapsille voidaan opettaa myös korkeampaa matematiikkaa", huudahtivat Suuret Opettajat. Yliopistoluennosta ”Matematiikan perusteet” tehtiin tiivistelmä lapsille. Tämä ei ollut trendi vain Puolassa, vaan koko Euroopassa. Yhtälön ratkaiseminen ei riittänyt, vaan jokainen yksityiskohta piti selittää. Jotta ei olisi perusteetonta, jokainen lukija voi ratkaista yhtälöjärjestelmän:

mutta opiskelijoiden oli perusteltava jokainen askel, viitattava asiaankuuluviin lausuntoihin jne. Tämä oli klassinen muodon ylittäminen sisällöstä. Minun on nyt helppo kritisoida. Minäkin olin joskus tämän lähestymistavan kannattaja. Se on jännittävää... nuorille, jotka ovat intohimoisia matematiikasta. Tämä tietysti olin (ja huomion vuoksi minä).

Mutta tarpeeksi poikkeamaa, mennään asiaan: luento, joka oli "teoreettisesti" tarkoitettu ammattikorkeakoulun toisen asteen opiskelijoille ja olisi ollut kuiva kuin kookoshiutaleet ilman häntä. Vähän liioittelen...

Hyvää huomenta sinulle. Päivän aiheena on osittainen puhdistus. Ei, tämä ei ole vihje huolimattomasta siivouksesta. Parempi vertailu olisi pohtia, kumpi on parempi: tomaattikeitto vai kermakakku. Vastaus on selvä: riippuu mistä. Jälkiruoaksi - keksejä ja ravitsevaa ruokaa: keittoa.

Matematiikassa käsitellään lukuja. Ne on järjestetty: ne ovat suurempia ja pienempiä, mutta kahdesta eri numerosta toinen on aina pienempi, mikä tarkoittaa, että toinen on suurempi. Ne on järjestetty järjestykseen, kuten aakkosten kirjaimet. Luokkapäiväkirjassa järjestys voi olla seuraava: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (he ovat ystäviä ja luokkatovereita luokastani!). Meillä ei myöskään ole epäilystäkään siitä, että Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Symbolilla "kaksinkertainen epätasa-arvo" on merkitys "ennen".

Matkakerhossani yritämme tehdä luettelot aakkosjärjestyksessä, mutta nimen mukaan esimerkiksi Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz jne. Virallisissa tietueissa järjestys olisi päinvastainen. Matemaatikot kutsuvat aakkosjärjestystä leksikografiseksi (sanakirja on enemmän tai vähemmän kuin sanakirja). Toisaalta sellainen järjestys, jossa kahdesta osasta koostuvassa nimessä (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) katsotaan ensin toista osaa, on matemaatikoille anti-leksikografinen järjestys. Pitkät otsikot, mutta hyvin yksinkertainen sisältö.

1. Lineaarinen järjestys: asemat ja pysäkit Habovka-Zakopane-radalla Podhalesta, rakennettu vuonna 1899 (jätän lyhenteiden purkamisen lukijalle).

Kaikkia tällaisia ​​tilauksia kutsutaan rivitilauksiksi. Tilaamme vuorotellen: ensimmäinen, toinen, kolmas. Kaikki on kunnossa, ensimmäisestä pisteestä viimeiseen. Se ei aina ole järkevää. Loppujen lopuksi järjestämme kirjoja kirjastossa ei näin, vaan osioihin. Vain osastolla järjestämme lineaarisesti (yleensä aakkosjärjestyksessä).

2. Lineaarinen järjestys: auton moottoria käynnistettäessä suoritamme toimenpiteet johdonmukaisessa järjestyksessä.

Isommissa projekteissa, varsinkin ryhmätyössä, meillä ei ole enää lineaarista järjestystä. Katsotaanpa kuva 3. Haluamme rakentaa pienen hotellin. Meillä on jo rahaa (solu 0). Vaadimme lupia, keräämme materiaaleja, aloitamme rakentamisen ja samalla toteutamme mainoskampanjan, etsimme työntekijöitä ja niin edelleen ja niin edelleen. Kun saavumme numeroon 10, ensimmäiset vieraat voivat kirjautua sisään (esimerkki herra Dombrowskin tarinoista ja heidän pienestä hotellistaan ​​Krakovan esikaupunkialueella). Meillä on epälineaarinen järjestys – Jotkut asiat voivat tapahtua rinnakkain.

Taloustieteessä opit kriittisen polun käsitteen. Se on joukko toimintoja, jotka on suoritettava peräkkäin (ja tätä kutsutaan matematiikassa ketjuksi, tästä lisää hetkessä) ja jotka vievät eniten aikaa. Rakennusajan lyhentäminen on kriittisen polun uudelleenjärjestelyä. Mutta tästä lisää muilla luennoilla (muistutan, että pidän "yliopistoluennon"). Keskitymme matematiikkaan.

Kuvan 3 kaltaisia ​​kaavioita kutsutaan Hasse-kaavioiksi (Helmut Hasse, saksalainen matemaatikko, 1898–1979). Jokainen monimutkainen ponnistus on suunniteltava tällä tavalla. Näemme toimintosarjat: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matemaatikot kutsuvat niitä merkkijonoiksi. Koko idea koostuu neljästä ketjusta. Sitä vastoin aktiivisuusryhmät 1-2-3-4, 5-6-7 ja 8-9 ovat antiketjuja. Tässä niitä kutsutaan. Tosiasia on, että tietyssä ryhmässä mikään toiminnoista ei riipu edellisestä.

4. Tämä on myös Hasse-kaavio.

mennään 4-piirustus. Mikä on vaikuttavaa? Mutta se voisi olla metrokartta jossain kaupungissa! Maanalaiset rautatiet on aina ryhmitelty linjoiksi - ne eivät kulje toiselta toiselle. Rivit ovat erillisiä rivejä. Kuvan kaupungissa. 4 on uuni rivi (muista se uuni se on kirjoitettu "boldem" - puolaksi sitä kutsutaan puolipaksuksi).

Tässä kaaviossa (kuva 4) on lyhyt keltainen ABF, kuuden aseman ACFPS, vihreä ADGL, sininen DGMRT ja pisin punainen. Matemaatikko sanoo: tämä Hasse-kaavio on uuni ketjut. Se on punaisella viivalla seitsemän asema: AEINRUW. Entä antiketjut? Siellä niitä on seitsemän. Lukija on jo huomannut, että olen alleviivannut sanan seitsemän.

Antichain tämä on sellainen joukko asemia, että on mahdotonta päästä yhdeltä niistä toiselle ilman siirtoa. Kun "ymmärrämme" vähän, näemme seuraavat antiketjut: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Ole hyvä ja tarkista esimerkiksi, ettei ole mahdollista matkustaa yhdeltäkään BCLTV-asemalta toiselle BCTLV:lle ilman siirtoa, tarkemmin sanottuna: ilman, että tarvitsee palata alla näkyvälle asemalle. Kuinka monta antiketjua on? seitsemän. Minkä kokoinen on suurin? Leipoa (jälleen lihavoitu).

Voitte, opiskelijat, kuvitella, että näiden lukujen yhteensopivuus ei ole sattumaa. Tämä. Tämän löysi ja todisti (eli aina niin) vuonna 1950 Robert Palmer Dilworth (1914–1993, amerikkalainen matemaatikko). Koko sarjan peittämiseen tarvittavien rivien määrä on yhtä suuri kuin suurimman antiketjun koko ja päinvastoin: antiketjujen määrä on yhtä suuri kuin pisimmän antiketjun pituus. Näin on aina osittain tilatussa setissä, ts. sellainen, joka voidaan visualisoida. Hassegon kaavio. Tämä ei ole aivan tiukka ja oikea määritelmä. Tätä matemaatikot kutsuvat "työmääritelmäksi". Tämä eroaa jonkin verran "työmääritelmästä". Tämä on vihje kuinka ymmärtää osittain tilatut sarjat. Tämä on tärkeä osa koulutusta: katso, miten se toimii.

Englanninkielinen lyhenne on - tämä sana kuulostaa kauniilta slaavilaisilla kielillä, vähän kuin ohdake. Huomaa, että ohdake on myös haarautunut.

Todella kiva, mutta kuka sitä tarvitsee? Te, rakkaat opiskelijat, tarvitsette sitä kokeen läpäisemiseen, ja tämä on luultavasti tarpeeksi hyvä syy opiskella sitä. Kuuntelen, mitä kysymyksiä? Kuuntelen, herra ikkunan alta. Voi, kysymys kuuluu, onko tästä koskaan hyötyä Herralle elämässäsi? Ehkä ei, mutta jollekin sinua älykkäämmälle varmasti... Ehkä kriittiseen polkuanalyysiin monimutkaisessa talousprojektissa?

Kirjoitan tätä tekstiä kesäkuun puolivälissä, Varsovan yliopistossa on meneillään rehtorivaalit. Olen lukenut useita kommentteja Internetin käyttäjiltä. On yllättävän paljon vihaa (tai "vihaa") "koulutettuja ihmisiä" kohtaan. Joku nimenomaan kirjoitti, että korkeakoulututkinnon suorittaneet tietävät vähemmän kuin korkeakoulututkinnon suorittaneet. En tietenkään lähde mukaan keskusteluun. Olen vain surullinen, että Puolan kansantasavallassa vallitseva mielipide, että kaikki voidaan tehdä vasaralla ja taltalla, on palaamassa. Palaan matematiikkaan.

Dillworthin lause on useita mielenkiintoisia käyttökohteita. Yksi niistä tunnetaan avioliittolauseena.kuva 6). 

Siellä on ryhmä naisia ​​(melko tyttöjä) ja hieman suurempi ryhmä miehiä. Jokainen tyttö ajattelee jotain tällaista: "Voisin mennä naimisiin tämän kanssa toisen puolesta, mutta en koskaan elämässäni kolmannen puolesta." Ja niin edelleen, jokaisella on omat mieltymyksensä. Piirrämme kaavion, joka johtaa jokaiseen heistä nuolen kaverilta, jota hän ei hylkää alttariehdokkaaksi. K: Voiko parit sovittaa yhteen niin, että jokainen löytää miehensä, jonka hän hyväksyy?

Philip Hallin lause, sanoo, että tämä voidaan tehdä - tietyin ehdoin, joita en käsittele täällä (siis seuraavalla luennolla, opiskelijat, kiitos). Huomaa kuitenkin, että miesten tyytyväisyyttä ei mainita tässä ollenkaan. Kuten tiedätte, naiset valitsevat meidät, eivätkä päinvastoin, kuten ajattelemme (muistutan, että minä olen kirjoittaja, en kirjoittaja).

Jotain vakavaa matematiikkaa. Miten Hallin lause seuraa Dilworthista? Se on hyvin yksinkertaista. Katsotaanpa uudelleen kuvaa 6. Ketjut ovat siellä hyvin lyhyitä: niiden pituus on 2 (suuntaan kulkeva). Joukko pieniä miehiä on ketjun vastainen (juuri siksi, että nuolet osoittavat vain toisiaan kohti). Näin voit kattaa koko kokoelman niin monella antiketjulla kuin on miehiä. Joten jokaisella naisella on nuoli. Mikä tarkoittaa, että hän saattaa vaikuttaa mieheltä, jonka hän hyväksyy!!!

Odota, joku kysyy, onko se siinä? Onko tämä koko sovellus? Hormonit jotenkin tulevat toimeen ja miksi matematiikka? Ensinnäkin tämä ei ole koko sovellus, vaan vain yksi suuresta sarjasta. Katsotaanpa yhtä niistä. Tarkoitakoon (kuva 6) ei paremman sukupuolen edustajia, vaan proosallisia ostajia, ja nämä ovat merkkejä, esimerkiksi autot, pesukoneet, laihdutustuotteet, matkatoimistojen tarjoukset jne. Jokaisella ostajalla on merkkejä, jotka hän hyväksyy ja hylkää. Onko mitään tehtävissä, jotta kaikille myydään jotain ja miten? Tähän eivät vain vitsit, vaan myös artikkelin kirjoittajan tiedot tästä aiheesta. Tiedän vain, että analyysi perustuu melko monimutkaiseen matematiikkaan.

Matematiikan opettaminen koulussa on algoritmien opettamista. Tämä on tärkeä osa oppimista. Mutta hitaasti siirrymme kohti matematiikan oppimisen sijaan matemaattista menetelmää. Tämän päivän luento oli juuri tästä aiheesta: puhumme abstrakteista mentaalirakenteista, ajattelemme jokapäiväistä elämää. Puhumme ketjuista ja antiketjuista sarjoissa, joissa on käänteisiä, transitiivisia ja muita suhteita, joita käytämme myyjä-ostaja-malleissa. Tietokone tekee kaikki laskelmat puolestamme. Hän ei vielä luo matemaattisia malleja. Ajattelullamme voitamme silti. Joka tapauksessa, toivottavasti mahdollisimman pitkään!