Miksi emme jaa nollalla?
Pitoisuus
Lukijat saattavat ihmetellä, miksi omistan koko artikkelin niin banaalille aiheelle? Syynä on hämmästyttävä määrä opiskelijoita (!), jotka satunnaisesti suorittavat operaatiota nimellä. Eikä vain opiskelijoita. Joskus saan myös opettajia kiinni. Mitä tällaisten opettajien oppilaat pystyvät tekemään matematiikassa? Välitön syy tämän tekstin kirjoittamiseen oli keskustelu opettajan kanssa, jolle nollalla jakaminen ei ollut ongelma...
Nollalla kyllä, paitsi ei mitään hässäkkää, koska meidän ei todellakaan tarvitse käyttää sitä jokapäiväisessä elämässä. Emme käy ostamassa nollamunia. "Huoneessa on yksi henkilö" kuulostaa jotenkin luonnolliselta ja "nolla ihmistä" kuulostaa keinotekoiselta. Lingvistit sanovat, että nolla on kielijärjestelmän ulkopuolella.
Voimme pärjätä ilman nollaa myös pankkitileillä: käytä vain - kuten lämpömittarissa - punaista ja sinistä positiivisille ja negatiivisille arvoille (huomaa, että lämpötilan osalta on luonnollista käyttää punaista positiivisia lukuja ja pankkitileillä sitä on päinvastoin, koska veloituksen pitäisi laukaista varoitus, joten punainen on erittäin suositeltavaa).
Sisällyttämällä nollan luonnolliseksi luvuksi kosketamme erilaistumisongelmaa Kardinaaliluvut od kotitalous. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….
luvun potenssi on sama kuin sen paikan numero, jossa se seisoo. Muuten se on jo järjestyksessä 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....
Yksittäisten sarjojen määrä tulee toiseksi, kahdella elementillä olevien sarjojen määrä kolmannella ja niin edelleen. Meidän on selitettävä, miksi emme esimerkiksi numeroita urheilijoiden paikkoja kilpailuissa tyhjästä. Sitten ensimmäisen sijan voittaja sai hopeamitalin (kulta meni nollasijalle) ja niin edelleen. Jokseenkin samanlaista menettelyä käytettiin jalkapallossa - en tiedä tietävätkö lukijat, että "liiga yksi" tarkoittaa " parhaan mukaan." ", ja nollaliigasta tulee "pääliiga".
Joskus kuulemme väitteen, että meidän on aloitettava tyhjästä, koska se on kätevää IT-ihmisille. Jatkamalla näitä pohdintoja, kilometrin määritelmää tulisi muuttaa - sen pitäisi olla 1024 m, koska tämä on tavujen määrä kilotavussa (viittaan tietojenkäsittelytieteilijöiden tuntemaan vitsiin: "Mitä eroa on fuksi ja tietojenkäsittelytieteen opiskelija ja tämän tiedekunnan viidennen vuoden opiskelija? että kilotavu on 1000 kilotavua, viimeinen - että kilometri on 1024 metriä")!
Toinen näkökulma, joka pitäisi jo ottaa vakavasti, on tämä: mitataan aina tyhjästä! Riittää, kun katsot mitä tahansa vaakaa viivaimesta, kotivaa'oista, jopa kellosta. Koska mitataan nollasta ja laskeminen voidaan ymmärtää mittaukseksi dimensiottomalla yksiköllä, niin meidän pitäisi laskea nollasta.
Se on yksinkertainen asia, mutta...
Jätetään yleinen päättely ja palataan nollalla jakoon. Asia on yksinkertainen ja se olisi yksinkertainen, jos se ei olisi ... niin mitä? Mietitään ja yritetään. Kuinka paljon se voi olla - yksi jaettuna nollalla? Katsotaanpa: 1/0 = x. Kerro molemmat puolet vasemman puolen nimittäjällä.
Saamme 1=0. Jotain on vialla! Mitä tapahtui? Ah arvaa! Oletus, että on olemassa ykseyden ja nollan osamäärä, johtaa ristiriitaan. Ja jos yhtä ei voida jakaa nollalla, niin toinen luku voidaan jakaa. Jos, lukija, kohautat olkapäitään ja ihmettelet, miksi kirjoittaja (eli minä) kirjoittaa tällaisista latteuksista, niin... olen erittäin iloinen!
Kaavaa 0/0 = 0 voitaisiin puolustaa itsepäisesti, mutta se on ristiriidassa sen säännön kanssa, että luvun jakamisen tulos itsellään on yhtä suuri kuin yksi. Ehdottomasti, mutta aivan erilaisia ovat sellaiset symbolit kuin 0/0, °/° ja vastaavat laskennassa. Ne eivät tarkoita mitään numeroa, vaan ovat symbolisia nimityksiä tietyille tietyntyyppisille sekvensseille.
Eräästä sähkötekniikan kirjasta löysin mielenkiintoisen vertailun: nollalla jakaminen on yhtä vaarallista kuin korkeajännitesähkö. Tämä on normaalia: Ohmin lain mukaan jännitteen ja vastuksen suhde on yhtä suuri kuin virta: V = U / R. Jos vastus olisi nolla, johtimen läpi kulkisi teoreettisesti ääretön virta, joka polttaisi kaikki mahdolliset johtimet.
Kirjoitin kerran runon nollalla jakamisen vaaroista viikon jokaisena päivänä. Muistan, että dramaattisin päivä oli torstai, mutta se on sääli kaikesta työstäni tällä alalla.
Kun jaat jotain nollalla
Hyvin aikaisin maanantaina
Viikko mitä juuri tapahtui
Olet jo epäonnistunut surkeasti.
Kun tiistai-iltapäivällä
Laitat nollan nimittäjään
Kerron sitten, olet väärässä
Huono matemaatikko!
Kun nollasta, perversiosta,
Haluan erota keskiviikkona
Joudut paljon vaikeuksiin
Sinulla on heinää ja vettä päässäsi!
Eräs Bartek oli kanssamme.
Hän oli sääntöjen vastainen.
Torstaina se on jaollinen nollalla.
Hän ei ole enää välillämme!
Jos outo halu ottaa sinut vallan
Jaa nollalla perjantaina
Olen rehellinen, olen rehellinen:
Huono alku tälle viikonlopulle.
Kun se on nolla, jossain lauantaina
Jakaja on sinun (ei lihavoitu)
Polvistu kirkon aidan alle.
Tämä on sinun ylösnousemus.
Haluatko nollan kojelaudan alle,
Pidä sunnuntaina loma
Tuo liitu, musta taulu.
Kirjoita: se ei ole jaollinen nollalla!
Nolla liittyy tyhjyyteen ja tyhjyyteen. Todellakin, hän tuli matematiikkaan suureena, joka ei muuta sitä mihinkään lisättynä: x + 0 = x. Mutta nyt nolla esiintyy useissa muissa arvoissa, etenkin muodossa mittakaavan aloitus. Jos ikkunan ulkopuolella ei ole positiivista lämpötilaa eikä pakkasta, niin ... tämä on nolla, mikä ei tarkoita, että lämpötilaa ei olisi ollenkaan. Nollaluokan muistomerkki ei ole sellainen, joka on purettu pitkään ja jota ei yksinkertaisesti ole olemassa. Päinvastoin, se on jotain Wawelin, Eiffel-tornin ja Vapaudenpatsaan kaltaista.
No, nollan merkitystä paikkajärjestelmässä tuskin voi yliarvioida. Tiedätkö, lukija, kuinka monta nollaa Bill Gatesilla on pankkitilillä? En tiedä, mutta haluaisin puolet. Ilmeisesti Napoleon Bonaparte huomasi, että ihmiset ovat kuin nollia: he saavat merkityksen aseman kautta. Andrzej Wajdan elokuvassa As the Years, As the Days Go by intohimoinen taiteilija Jerzy räjähtää: "Filistealainen on nolla, nihil, ei mitään, ei mitään, nihil, nolla." Mutta nolla voi olla hyväkin: "nollapoikkeama normista" tarkoittaa, että kaikki menee hyvin, ja jatka samaan malliin!
Palataanpa matematiikkaan. Nollaa voidaan lisätä, vähentää ja kertoa rankaisematta. "Lihoin nolla kiloa", Manya sanoo Anyalle. "Ja tämä on mielenkiintoista, koska laihduin saman verran", Anya vastaa. Syökäämme siis kuusi nolla-annosta jäätelöä kuusi kertaa, se ei haittaa meitä.
Emme voi jakaa nollalla, mutta voimme jakaa nollalla. Lautas nolla nyytit voidaan helposti jakaa niille, jotka odottavat ruokaa. Kuinka paljon kukin saa?
Nolla ei ole positiivinen tai negatiivinen. Tämä ja numero ei-positiivinenи ei-negatiivinen. Se täyttää epäyhtälöt x≥0 ja x≤0. Ristiriita "jotain positiivista" ei ole "jotain negatiivista", vaan "jotain negatiivista tai yhtä kuin nolla". Matemaatikot, vastoin kielen sääntöjä, sanovat aina, että jokin on "saa kuin nolla" eikä "nolla". Tämän käytännön perustelemiseksi meillä on: jos luemme kaavan x = 0 "x on yhtä suuri kuin nolla", niin x = 1 luemme "x on yhtä kuin yksi", joka voidaan niellä, mutta entä "x = 1534267" ? Et myöskään voi määrittää numeroarvoa merkille 00eikä nosta nollaa negatiiviseen potenssiin. Toisaalta voit juurtaa nollan halutessasi... ja tulos on aina nolla.
Eksponentiaalinen funktio y = ax, a:n positiivinen kanta ei koskaan tule nollaksi. Tästä seuraa, että nollalogaritmia ei ole. Itse asiassa a:n logaritmi kantaan b on eksponentti, johon kanta on nostettava, jotta saadaan a:n logaritmi. Jos a = 0, tällaista indikaattoria ei ole, eikä nolla voi olla logaritmin kanta. Newtonin symbolin "nimittäjässä" oleva nolla on kuitenkin jotain muuta. Oletamme, että nämä sopimukset eivät johda ristiriitaan.
vääriä todisteita
Nollalla jako on yleinen aihe väärille todisteille, ja sitä tapahtuu jopa kokeneille matemaatikoille. Annan teille kaksi suosikkiesimerkkiäni. Ensimmäinen on algebrallinen. "Todistan", että kaikki luvut ovat yhtä suuria. Oletetaan, että on kaksi lukua, jotka eivät ole yhtä suuret. Siksi yksi niistä on suurempi kuin toinen, olkoon a > b. Oletetaan, että c on niiden ero
c \uXNUMXd a - b. Joten meillä on a - b = c, josta a = b + c.
Kerromme jälkimmäisen molemmat osat a - b:llä:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Käännän ak vasemmalle puolelle, muistan tietysti merkin vaihdon:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Jätän pois yleiset tekijät:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Jaan ja minulla on mitä halusin:
a = b.
Ja itse asiassa vielä oudompaa, koska oletin, että a > b, ja sain että a = b. Jos yllä olevassa esimerkissä "huijaaminen" on helppo tunnistaa, niin alla olevassa geometrisessa todistuksessa se ei ole niin helppoa. Todistan, että ... puolisuunnikkaan ei ole olemassa. Figuuria, jota yleisesti kutsutaan puolisuunnikkaan, ei ole olemassa.
Mutta oletetaan ensin, että on olemassa sellainen asia kuin puolisuunnikkaan (ABCD alla olevassa kuvassa). Siinä on kaksi yhdensuuntaista sivua ("pohjaa"). Venytetään näitä kannakkeita kuvan osoittamalla tavalla, jotta saadaan suunnikkaa. Sen lävistäjät jakavat puolisuunnikkaan toisen diagonaalin segmenteiksi, joiden pituudet on merkitty x, y, z, kuten 1-piirustus. Vastaavien kolmioiden samankaltaisuudesta saamme mittasuhteet:
missä määrittelemme:
Oraz
missä määrittelemme:
Vähennä tähdillä merkityt tasa-arvon puolet:
Lyhentämällä molempia puolia x − z:llä saadaan – a/b = 1, mikä tarkoittaa, että a + b = 0. Mutta luvut a, b ovat puolisuunnikkaan kantaosien pituuksia. Jos niiden summa on nolla, ne ovat myös nolla. Tämä tarkoittaa, että puolisuunnikkaan kaltaista kuviota ei voi olla olemassa! Ja koska suorakulmiot, rombit ja neliöt ovat myös puolisuunnikkaita, niin hyvä lukija, ei myöskään ole rombuksia, suorakulmioita ja neliöitä ...
Arvaa Arvaa
Tiedon jakaminen on mielenkiintoisin ja haastavin neljästä perustoiminnosta. Täällä törmäämme ensimmäistä kertaa aikuisiässä niin yleiseen ilmiöön: "arvaa vastaus ja tarkista sitten, arvasitko oikein." Tämän ilmaisee hyvin osuvasti Daniel K. Dennett ("Kuinka tehdä virheitä?", julkaisussa How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsova, 1997):
Tämä "arvaamistapa" ei häiritse aikuiselämäämme - ehkä siksi, että opimme sen varhain eikä arvailu ole vaikeaa. Ideologisesti sama ilmiö esiintyy esimerkiksi matemaattisessa (täydellisessä) induktiossa. Samassa paikassa "arvaamme" kaavan ja tarkistamme sitten, onko arvauksemme oikea. Oppilaat kysyvät aina: "Mistä tiesimme mallin? Miten se voidaan ottaa pois?" Kun opiskelijat kysyvät minulta tämän kysymyksen, muutan heidän kysymyksensä vitsiksi: "Tiedän tämän, koska olen ammattilainen, koska minulle maksetaan tietää." Koulun oppilaille voidaan vastata samalla tyylillä, vain vakavammin.
harjoitus. Huomaa, että aloitamme yhteen- ja kirjallisen kertolaskujen pienimmällä yksiköllä ja jakolaskun suurimmalla yksiköllä.
Kahden idean yhdistelmä
Matematiikan opettajat ovat aina huomauttaneet, että se, mitä kutsumme aikuisten erottamiseksi, on kahden käsitteellisesti erilaisen idean liitto: kotelo i erottaminen.
Ensimmäinen (kotelo) esiintyy tehtävissä, joissa arkkityyppi on:
Jaa-jaa Nämä ovat tehtäviä, kuten:
? (Säilytämme tämän ongelman alkuperäisen tyylin, joka on otettu Julian Zgozalewiczin Krakovassa vuonna 1892 julkaistusta käsikirjasta - złoty on Reinin złoty, valuutta, joka oli käytössä Itävalta-Unkarin valtakunnassa XNUMX. vuosisadan alkuun asti).
Harkitse nyt kahta ongelmaa vanhin puolankielinen matematiikan oppikirja, isä Tomasz Clos (1538). Onko se divisioona vai coupe? Ratkaise se tavalla, jolla XNUMX-luvun koululaisten pitäisi:
(Puolasta puolaksi käännös: Tynnyrissä on litra ja neljä kattilaa. Pannu on neljä litraa. Joku osti 20 tynnyriä viiniä 50 zł:lla kauppaa varten. Tullit ja verot (valmistevero?) ovat 8 zł. Kuinka paljon myy litra ansaitaksesi 8 zł?)
Urheilu, fysiikka, kongruenssi
Joskus urheilussa täytyy jakaa jotain nollalla (maalisuhde). No, tuomarit käsittelevät sen jotenkin. Abstraktissa algebrassa ne ovat kuitenkin asialistalla. nollasta poikkeavat määrätjonka neliö on nolla. Sen voi jopa selittää yksinkertaisesti.
Tarkastellaan funktiota F, joka yhdistää pisteen (y, 0) tason (x, y) pisteeseen. Mikä on F2, eli F?:n kaksoissuoritus? Nollatoiminto - jokaisessa pisteessä on kuva (0,0).
Lopuksi nollasta poikkeavat suureet, joiden neliö on 0, ovat fyysikoille lähes jokapäiväistä leipää ja luvut muotoa a + bε, jossa ε ≠ 0, mutta ε2 = 0, matemaatikot kutsuvat kaksoisnumerot. Niitä esiintyy matemaattisessa analyysissä ja differentiaaligeometriassa.
Loppujen lopuksi aritmetiikassa on jotain, jonka ainakin nimessä on jako nollalla. Se tulee yhteneväisyys. Merkitään Z kokonaislukujen joukkoa. Joukon Z jakaminen p:llä tarkoittaa, että jokainen luku (kokonaisluku) rinnastetaan joihinkin muihin, nimittäin niihin, joilla niiden erotus on jaollinen. Joten kun meillä on viisi tyyppiä lukuja, jotka vastaavat lukuja 0, 1, 2, 3, 4 - mahdolliset jäännökset jaettuna 5:llä. Kaava kirjoitetaan seuraavasti:
mod, kun ero on moninkertainen.
Kun = 2, meillä on vain kaksi numeroa: 0 ja 1. Kokonaislukujen jakaminen kahteen tällaiseen luokkaan vastaa niiden jakamista parillisiin ja parittoihin. Vaihdetaan se nyt. Ero on aina jaollinen 1:llä (mikä tahansa kokonaisluku on jaollinen 1:llä). Onko mahdollista ottaa =0? Kokeillaan: milloin kahden luvun ero on nollan kerrannainen? Vain kun nämä kaksi numeroa ovat yhtä suuret. Joten kokonaislukujoukon jakaminen nollalla on järkevää, mutta se ei ole mielenkiintoista: mitään ei tapahdu. On kuitenkin korostettava, että tämä ei ole lukujen jako peruskoulusta tunnetussa merkityksessä.
Sellaiset toimet ovat yksinkertaisesti kiellettyjä, samoin kuin pitkä ja laaja matematiikka.
Riisi. 2. Numeroiden tunnistaminen vertailun avulla
(tila 5 ja tila 2)
