Matka matematiikan epätodelliseen maailmaan

Kirjoitin tämän artikkelin yhdessä ympäristöistä tietojenkäsittelytieteen korkeakoulussa pidetyn luennon ja harjoittelun jälkeen. Puolustan itseäni tämän koulun oppilaita, heidän tietojaan, suhtautumistaan ​​tieteeseen ja mikä tärkeintä: opetustaitoja vastaan, kohdistuvaa kritiikkiä vastaan. Tämä... kukaan ei opeta heitä.

Miksi olen niin puolustava? Yksinkertaisesta syystä - olen iässä, jolloin ympärillämme olevaa maailmaa ei todennäköisesti vielä ymmärretä. Ehkä opetan heitä valjastamaan ja irrottamaan hevoset, enkä ajamaan autoa? Ehkä opetan heidät kirjoittamaan sulkakynällä? Vaikka minulla on parempi mielipide ihmisestä, pidän itseäni "seuraajana", mutta…

Viime aikoihin asti lukiossa puhuttiin kompleksiluvuista. Ja juuri tänä keskiviikkona tulin kotiin, lopetin - melkein kukaan oppilaista ei ole vielä oppinut, mitä se on ja kuinka näitä numeroita käytetään. Jotkut katsovat kaikkea matematiikkaa kuin hanhi maalattua ovea vasten. Mutta olin myös todella yllättynyt, kun minulle kerrottiin, kuinka oppia. Yksinkertaisesti sanottuna jokainen luennon tunti on kaksi tuntia kotitehtäviä: oppikirjan lukeminen, ongelmien ratkaisemisen oppiminen tietystä aiheesta jne. Tällä tavalla valmistautuneena tulemme harjoituksiin, joissa parannamme kaikkea... Iloisesti opiskelijat ilmeisesti ajattelivat, että luennolla istuminen - useimmiten ikkunasta ulos katsominen - takaa jo tiedon pääsyn päähän.

Lopettaa! Tämä riittää. Kuvailen vastaukseni kysymykseen, jonka sain kurssilla, jossa oli mukana National Children's Fund -järjestö, joka tukee lahjakkaita lapsia eri puolilta maata. Kysymys (tai pikemminkin ehdotus) oli:

— Voitko kertoa jotain epätodellisista luvuista?

"Tietenkin", vastasin. 

Numeroiden todellisuus

"Ystävä on toinen minä, ystävyys on lukujen 220 ja 284 suhde", sanoi Pythagoras. Asia on tässä, että luvun 220 jakajien summa on 284 ja luvun 284 jakajien summa on 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Muuten panemme merkille, että raamatullinen Jaakob antoi Eesaulle 220 lammasta ja oinasta ystävyyden merkiksi (32. Moos. 14:XNUMX). ).

Toinen mielenkiintoinen yhteensattuma lukujen 220 ja 284 välillä on tämä: seitsemäntoista suurinta alkulukua ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , ja 59.

Niiden summa on 2x220 ja neliöiden summa on 59x284.

Ensimmäinen. Ei ole olemassa "todellisen luvun" käsitettä. On kuin luettuasi artikkelin norsuista kysyisit: "Nyt pyydämme muita kuin norsuja." On kokonaisia ​​ja ei-kokonaisia, rationaalisia ja irrationaalisia, mutta ei ole epätodellista. Erityisesti: numeroita, jotka eivät ole todellisia, ei pidetä virheellisinä. Matematiikassa on monenlaisia ​​"lukuja", ja ne eroavat toisistaan, kuten - eläintieteellisen vertailun mukaan - norsu ja kastemato.

Toiseksi suoritamme operaatioita, joiden ehkä jo tiedät olevan kiellettyjä: negatiivisten lukujen neliöjuurien erottaminen. No, matematiikka voittaa tällaiset esteet. Onko siinä kuitenkin järkeä? Matematiikassa, kuten missä tahansa muussakin tieteessä, se, tuleeko teoria ikuisesti tiedon arkistoon, riippuu ... sen soveltamisesta. Jos se on hyödytöntä, se päätyy roskakoriin ja sitten johonkin tiedon historian roskaan. Ilman lukuja, joista puhun tämän artikkelin lopussa, on mahdotonta kehittää matematiikkaa. Mutta aloitetaanpa pienistä asioista. Mitä ovat todelliset luvut, tiedäthän. Ne täyttävät lukujonon tiiviisti ja ilman aukkoja. Tiedät myös mitä luonnolliset luvut ovat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ne kaikki eivät mahdu muisto jopa suurin. Heillä on myös kaunis nimi: luonnollinen. Heillä on niin monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Mitä pidät tästä:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"On luonnollista olla kiinnostunut luonnollisista luvuista", sanoi Karl Lindenholm, ja Leopold Kronecker (1823–1891) ilmaisi sen ytimekkäästi: "Jumala loi luonnolliset luvut - kaikki muu on ihmisen työtä!" Murtoluvuilla (jota matemaatikot kutsuvat rationaaliluvuiksi) on myös hämmästyttäviä ominaisuuksia:

ja tasa-arvossa:

voit vasemmalta alkaen hieroa plussat ja korvata ne kertomerkeillä - ja yhtäläisyys pysyy totta:

Ja niin edelleen.

Kuten tiedät, murtoluvuille a/b, joissa a ja b ovat kokonaislukuja ja b ≠ 0, sanotaan rationaalinen luku. Mutta vain puolaksi he kutsuvat itseään sellaiseksi. He puhuvat englantia, ranskaa, saksaa ja venäjää. rationaalinen luku. Englanniksi: rationaaliset luvut. Irrationaalisia lukuja se on irrationaalista, irrationaalista. Puhumme myös puolaa irrationaalisista teorioista, ideoista ja teoista - tämä on hulluutta, kuvitteellista, selittämätöntä. Sanotaan, että naiset pelkäävät hiiriä - eikö se ole niin irrationaalista?

Muinaisina aikoina numeroilla oli sielu. Jokainen merkitsi jotain, jokainen symboloi jotain, jokainen heijasti hiukkasta tuosta maailmankaikkeuden harmoniasta, toisin sanoen kreikaksi kosmosta. Sana "kosmos" tarkoittaa täsmälleen "järjestystä, järjestystä". Tärkeimmät olivat kuusi (täydellinen luku) ja kymmenen, peräkkäisten lukujen 1+2+3+4 summa, joka muodostui muista luvuista, joiden symboliikka on säilynyt tähän päivään asti. Joten Pythagoras opetti, että numerot ovat kaiken alku ja lähde, ja vain löytö irrationaalisia lukuja käänsi Pythagoraan liikkeen kohti geometriaa. Tiedämme perustelun koulusta

√2 on irrationaalinen luku

Oletetaan, että on olemassa: ja että tätä murtolukua ei voida vähentää. Erityisesti sekä p että q ovat parittomia. Neliötetään: 2q²=p². Luku p ei voi olla pariton, koska siitä lähtien p² olisi myös, ja yhtälön vasen puoli on 2:n kerrannainen. Siten p on parillinen, eli p = 2r, joten p²= 4r². Vähennämme yhtälöä 2q²= 4r² 2. Saamme q²= 2r² ja näemme, että q:n on myös oltava parillinen, minkä oletamme olevan niin. Tuloksena oleva ristiriita täydentää todisteen - Tämä kaava löytyy usein jokaisesta matemaattisesta kirjasta. Tämä aihetodiste on sofistien suosikkitemppu.

Pythagoralaiset eivät voineet ymmärtää tätä suunnatonta. Kaikki pitäisi pystyä kuvailemaan numeroilla, ja neliön lävistäjällä, jonka kuka tahansa voi piirtää tikulla hiekkaan, ei ole pituutta, eli mitattavissa. "Uskomme oli turha", pythagoralaiset näyttävät sanovan. Kuinka niin? Se on tavallaan... irrationaalista. Unioni yritti pelastaa itsensä lahkollisin menetelmin. Jokainen, joka uskaltaa paljastaa olemassaolonsa irrationaalisia lukuja, oli määrä tuomita kuolemalla, ja ilmeisesti mestari itse suoritti ensimmäisen tuomion.

Mutta "ajatus meni vahingoittumattomana." Kulta-aika on saapunut. Kreikkalaiset voittivat persialaiset (Marathon 490, Block 479). Demokratia vahvistui, uusia filosofisen ajattelun keskuksia ja uusia kouluja syntyi. Pythagoralaiset kamppailivat edelleen irrationaalisten lukujen kanssa. Jotkut saarnasivat: emme ymmärrä tätä mysteeriä; voimme vain pohtia ja ihmetellä Unchartedia. Jälkimmäiset olivat pragmaattisempia eivätkä kunnioittaneet mysteeriä. Tuolloin ilmestyi kaksi henkistä rakennetta, jotka mahdollistivat irrationaalisten lukujen ymmärtämisen. Se, että ymmärrämme niitä tarpeeksi hyvin nykyään, kuuluu Eudoxukselle (XNUMX. vuosisata eKr.), ja vasta XNUMX-luvun lopulla saksalainen matemaatikko Richard Dedekind antoi Eudoxuksen teorialle oikean kehityksen tiukkojen vaatimusten mukaisesti. matemaattinen logiikka.

Figuurien massa tai kidutus

Voisitko elää ilman numeroita? Vaikka mitä elämä olisi... Pitäisi mennä kauppaan ostamaan kenkiä kepillä, jonka jalan pituuden mittasimme aiemmin. "Haluaisin omenoita, ah, tässä se on!" – näyttäisimme myyjiä markkinoilla. "Kuinka kaukana on Modlinista Nowy Dwur Mazowieckiin"? "Aika lähellä!"

Mittaukseen käytetään numeroita. Heidän avullaan ilmaisemme myös monia muita käsitteitä. Esimerkiksi kartan mittakaava näyttää kuinka paljon maan pinta-ala on pienentynyt. Kaksi yhteen asteikko tai yksinkertaisesti 2 ilmaisee tosiasian, että jokin on kaksinkertaistunut. Sanotaan matemaattisesti: jokainen homogeenisuus vastaa numeroa - sen asteikkoa.

tehtävä. Teimme kserografisen kopion suurentamalla kuvan useita kertoja. Sitten suurennettu fragmentti suurennettiin uudelleen b kertaa. Mikä on yleinen suurennusasteikko? Vastaus: a × b kerrottuna b:llä. Nämä asteikot on kerrottava. "Miinus yksi" numero -1 vastaa yhtä tarkkuutta, joka on keskitetty eli käännetty 180 astetta. Mikä luku vastaa 90 asteen käännöstä? Sellaista numeroa ei ole. Se on, se on… tai pikemminkin se on pian. Oletko valmis moraaliseen kidutukseen? Ole rohkea ja ota neliöjuuri miinus yhdestä. Kuuntelen? Mitä et voi? Loppujen lopuksi käskin sinun olla rohkea. Vedä se ulos! Hei, no, vedä, vedä... Autan... Tässä: -1 Nyt kun meillä on se, yritetään käyttää sitä... Tietysti, nyt voimme poimia kaikkien negatiivisten lukujen juuret, esimerkki.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Riippumatta siitä henkisestä ahdistuksesta, jota se sisältää." Näin Girolamo Cardano kirjoitti vuonna 1539 yrittääkseen voittaa henkiset vaikeudet, jotka liittyvät - kuten sitä pian alettiin kutsua - kuvitteellisia määriä. Hän piti näitä...

...tehtävä. Jaa 10 kahteen osaan, jonka tulo on 40. Muistan, että edellisestä jaksosta hän kirjoitti jotain tällaista: Varmasti mahdotonta. Tehdään kuitenkin näin: jaa 10 kahteen yhtä suureen osaan, joista jokainen on yhtä suuri kuin 5. Kerro ne - kävi ilmi 25. Vähennä nyt saadusta 25:stä 40, jos haluat, ja saat -15. Katso nyt: √-15 lisättynä ja vähennettynä viidestä antaa 5:n tulon. Nämä ovat luvut 40-√-5 ja 15 + √-5. Cardano tarkasti tuloksen seuraavasti:

”Riippumatta sen aiheuttamasta sydänsuruista, kerro 5 + √-15 luvulla 5-√-15. Saamme 25 - (-15), mikä on yhtä kuin 25 + 15. Joten tulo on 40 .... Se on todella vaikeaa."

No, kuinka paljon on: (1 + √-1) (1-√-1)? Kerrotaan. Muista, että √-1 × √-1 = -1. Loistava. Nyt vaikeampi tehtävä: a + b√-1 arvosta ab√-1. Mitä tapahtui? Varmasti näin: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Mitä mielenkiintoista tässä on? Esimerkiksi se, että voimme jakaa ilmauksia, joita "emme tienneet ennen". Lyhennetty kertolasku kaavalle²-b² Muistatko kaavan²+b² se ei ollut, koska se ei voinut olla. Reaalilukujen alueella polynomi²+b² se on väistämätöntä. Merkitään "meidän" neliöjuuri "miinus yksi" kirjaimella i.²= -1. Se on "epätodellinen" alkuluku. Ja se kuvaa lentokoneen 90 asteen kääntymistä. Miksi? Kuitenkin,²= -1, ja yhdistämällä yksi 90 asteen kierto ja toinen 180 asteen kierto saadaan 45 astetta. Minkä tyyppistä pyöritystä kuvataan? Ilmeisesti XNUMX asteen käännös. Mitä -i tarkoittaa? Asia on hieman monimutkaisempi:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Joten -i kuvaa myös 90 asteen kiertoa, juuri vastakkaiseen suuntaan kuin i:n kierto. Kumpi on vasen ja kumpi oikea? Sinun täytyy varata tapaaminen. Oletetaan, että luku i määrittelee pyörimisen suuntaan, jota matemaatikot pitävät positiivisena: vastapäivään. Numero -i kuvaa pyörimistä osoittimien liikkumissuuntaan.

Mutta onko sellaisia ​​numeroita kuin i ja -i olemassa? Ovatko! Heräsimme ne vain henkiin. Kuuntelen? Että ne ovat olemassa vain päässämme? No mitä odottaa? Myös kaikki muut numerot ovat olemassa vain mielessämme. Meidän on katsottava, selviävätkö vastasyntyneet määrämme. Tarkemmin sanottuna, onko suunnittelu looginen ja onko niistä hyötyä johonkin. Ole hyvä ja ota sanani siitä, että kaikki on kunnossa ja että nämä uudet numerot ovat todella hyödyllisiä. Lukuja, kuten 3+i, 5-7i, yleisemmin: a+bi kutsutaan kompleksiluvuiksi. Näytin sinulle, kuinka voit saada ne pyörittämällä konetta. Ne voidaan syöttää eri tavoin: tason pisteinä, polynomeina, jonkinlaisina numeerisina taulukoina ... ja joka kerta ne ovat samat: yhtälö x² +1=0 ei ole elementtiä... hocus pocus on jo olemassa!!!! Iloitkaamme ja iloitaan!!!

Kiertueen loppu

Tämä päättää ensimmäisen kiertueemme väärennettyjen numeroiden maassa. Muista epämaisista luvuista mainitsen myös ne, joilla on ääretön määrä numeroita edessä, eikä takana (niitä kutsutaan 10-adiciksi, meille p-adic ovat tärkeämpiä, missä p on alkuluku), sillä esimerkki X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Lasketaan X, kiitos². Koska? Entä jos laskemme luvun neliön, jota seuraa ääretön määrä numeroita? No, tehdään sama. Tiedämme, että x² = X.

Etsitään toinen tällainen luku, jonka edessä on ääretön määrä numeroita ja joka täyttää yhtälön. Vihje: luvun neliö, joka päättyy kuuteen, päättyy myös kuuteen. Numeroon 76 päättyvän luvun neliö päättyy myös numeroon 76. Numeroon 376 päättyvän luvun neliö päättyy myös numeroon 376. Numeroon 9376 päättyvän luvun neliö päättyy myös numeroon 9376. Numeroon päättyvän luvun neliö XNUMX on… On myös lukuja, jotka ovat niin pieniä, että positiivisina ne pysyvät pienempinä kuin mikään muu positiivinen luku. Ne ovat niin pieniä, että joskus niiden neliöinti riittää nollaksi. On lukuja, jotka eivät täytä ehtoa a × b = b × a. Myös lukuja on äärettömät. Kuinka monta luonnollista lukua on? äärettömän monta? Kyllä, mutta kuinka paljon? Miten tämä voidaan ilmaista numerona? Vastaus: pienin äärettömistä luvuista; se on merkitty kauniilla kirjaimella: A ja täydennettynä nollaindeksillä A₀ , aleph-nolla.

On myös numeroita, joiden olemassaolosta emme tiedä... tai joita voit uskoa tai olla uskomatta kuten haluat. Ja puheen ollen: Toivottavasti pidät edelleen Unreal Numbersista, Fantasy Species Numbersista.