Salakirjoituksia ja vakoojia

Tämän päivän Math Cornerissa aion tarkastella aihetta, josta keskustelin National Children's Foundationin vuotuisella tiedeleirillä lapsille. Säätiö etsii tieteellisistä asioista kiinnostuneita lapsia ja nuoria. Sinun ei tarvitse olla äärimmäisen lahjakas, mutta sinulla on oltava "tieteellinen putki". Erittäin hyviä kouluarvosanoja ei vaadita. Kokeile, saatat pitää siitä. Jos olet yläkoululainen tai lukiolainen, hae. Yleensä vanhemmat tai koulu tekevät raportit, mutta näin ei aina ole. Etsi säätiön verkkosivut ja ota selvää.

Koulussa puhutaan yhä enemmän "koodauksesta", viitaten toimintaan, joka tunnettiin aiemmin nimellä "ohjelmointi". Tämä on yleinen menettely teoreettisille kouluttajille. He kaivavat esiin vanhoja menetelmiä, antavat niille uuden nimen ja "edistyminen" tapahtuu itsestään. On useita alueita, joilla tällaista syklistä ilmiötä esiintyy.

Voidaan päätellä, että arvostan didaktiikkaa. Ei. Sivilisaation kehittyessä palaamme joskus siihen, mikä oli, hylättiin ja nyt elvytetään. Mutta nurkkamme on matemaattinen, ei filosofinen.

Tiettyyn yhteisöön kuuluminen tarkoittaa myös "yhteisiä symboleja", yhteisiä lukemia, sanontoja ja vertauksia. Puolan kielen täydellisesti oppinut "Sczebrzeszynissä on suuri pensas, ruokossa surina kovakuoriainen" paljastuu välittömästi vieraan valtion vakoojaksi, jos hän ei vastaa kysymykseen, mitä tikka tekee. Tottakai hän tukehtuu!

Tämä ei ole vain vitsi. Joulukuussa 1944 saksalaiset aloittivat viimeisen hyökkäyksensä Ardenneilla suurella kustannuksella. He mobilisoivat sujuvaa englantia puhuvia sotilaita häiritsemään liittoutuneiden joukkojen liikkumista esimerkiksi johtamalla niitä väärään suuntaan risteyksessä. Yllätyshetken jälkeen amerikkalaiset alkoivat esittää sotilaille epäilyttäviä kysymyksiä, joihin vastaukset olisivat ilmeisiä Texasista, Nebraskasta tai Georgiasta kotoisin olevalle ja käsittämättömiä sellaiselle, joka ei ole siellä kasvanut. Tietämättömyys todellisuudesta johti suoraan teloitukseen.

Asiaan. Suosittelen lukijoille Lukasz Badowskin ja Zaslaw Adamashekin kirjaa "Laboratorio pöytälaatikossa - matematiikka". Tämä on upea kirja, joka osoittaa loistavasti, että matematiikasta on todella hyötyä johonkin ja että "matematiikan kokeilu" ei ole tyhjiä sanoja. Se sisältää muun muassa kuvatun "pahvin arvoituksen" - laitteen, jonka luominen vie vain viisitoista minuuttia ja joka toimii kuin vakava salauskone. Ajatus itsessään oli niin tuttu, mainitut tekijät kehittelivät sen kauniisti, ja muutan sitä hieman ja puetan sen matemaattisempiin vaatteisiin.

rautasahat

Yhdellä dacha-kyläni kadulla Varsovan esikaupunkialueella jalkakäytävä purettiin äskettäin "trlinka" - kuusikulmaisista päällystyslaatoista. Ajo oli epämukava, mutta matemaatikon sielu iloitsi. Tason peittäminen säännöllisillä (eli säännöllisillä) polygoneilla ei ole helppoa. Se voi olla vain kolmioita, neliöitä ja säännöllisiä kuusikulmioita.

Ehkä vitsailin hieman tällä henkisellä ilolla, mutta kuusikulmio on kaunis hahmo. Siitä voit tehdä melko onnistuneen salauslaitteen. Geometria auttaa. Kuusikulmiolla on pyörimissymmetria - se menee päällekkäin, kun sitä käännetään 60 asteen kerrannaisuudella. Kenttä on merkitty esimerkiksi kirjaimella A vasemmassa yläkulmassa kuva 1 tämän kulman läpi kääntämisen jälkeen se putoaa myös laatikkoon A - ja sama muiden kirjainten kanssa. Leikkaamme siis kuusi ruutua ruudukosta, joista jokaisessa on eri kirjain. Laitoimme tällä tavalla saadun ruudukon paperiarkille. Syötä kuuteen vapaaseen kenttään kuusi kirjainta tekstistä, jonka haluamme salata. Kierretään levyä 60 astetta. Näkyviin tulee kuusi uutta kenttää - kirjoita viestimme seuraavat kuusi kirjainta.

Riisi. 1. Matematiikan ilon linkit.

Oikealla kuva 1 meillä on teksti koodattu näin: "Asemalla on valtava raskas höyryveturi."

Nyt pientä koulumatematiikkaa tulee tarpeeseen. Kuinka monella tavalla kaksi numeroa voidaan järjestää suhteessa toisiinsa?

Mikä tyhmä kysymys? Kahdelle: joko yksi edessä tai toinen.

Hieno. Ja kolme numeroa?

Ei myöskään ole vaikeaa luetella kaikkia asetuksia:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

No, se on neljälle! Se voidaan silti ilmaista selvästi. Arvaa järjestyssääntö, jonka laitoin:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Kun numerot ovat viisi, saamme 120 mahdollista asetusta. Soitetaan heille permutaatioita. N luvun mahdollisten permutaatioiden lukumäärä on tulo 1 2 3 ... n, kutsutaan voimakas ja merkitty huutomerkillä: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Seuraavalle numerolle 6 meillä on 6!=720. Käytämme tätä tehdäksemme kuusikulmaisesta salaussuojastamme monimutkaisempaa.

Valitsemme numeroiden permutaatioksi 0-5, esimerkiksi 351042. Kuusikulmaisessa sekoituslevyssämme on viiva keskikentässä - jotta se voidaan laittaa "nolla-asentoon" - viiva ylöspäin, kuten kuvassa. 1. Asetamme levyn tällä tavalla paperiarkille, jolle meidän on kirjoitettava raporttimme, mutta emme kirjoita sitä heti, vaan käännämme sitä kolme kertaa 60 astetta (eli 180 astetta) ja syötämme kuusi kirjainta tyhjät kentät. Palaamme lähtöasentoon. Kierrämme valitsinta viisi kertaa 60 astetta eli kellotaulumme viidellä "hampaalla". Tulostamme. Seuraava asteikon asento on asento, joka on käännetty 60 astetta nollan ympäri. Neljäs asento on 0 astetta, tämä on aloitusasento.

Ymmärrätkö mitä tapahtui? Meillä on lisämahdollisuus - monimutkaistaa "konettamme" yli seitsemänsataa kertaa! Meillä on siis kaksi itsenäistä "automaatin" paikkaa - ruudukon valinta ja permutaatio. Hila voidaan valita 66 = 46656 tavalla, permutaatio 720. Tämä antaa 33592320 mahdollisuutta. Yli 33 miljoonaa salausta! Melkein vähän vähemmän, koska joitain verkkoja ei voi leikata paperista.

Alaosassa kuva 1 meillä on viesti koodattu näin: "Lähetän sinulle neljä laskuvarjodivisioonaa." On helppo ymmärtää, että vihollisen ei pidä antaa tietää tästä. Mutta ymmärtääkö hän mitään näistä:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

vaikka allekirjoituksella 351042?

Rakennamme Enigmaa, saksalaista salauskonetta

Riisi. 2. Esimerkki salauskoneemme alkuasennuksesta.

Permutaatiot (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Kuten jo mainitsin, olen velkaa ajatuksen tällaisen pahvikoneen luomisesta kirjalle "Lab in a Drawer - Mathematics". Minun "rakentamiseni" on hieman erilainen kuin sen kirjoittajat.

Saksalaisten sodan aikana käyttämässä salauskoneessa oli nerokkaan yksinkertainen periaate, jossain määrin samanlainen kuin se, jonka näimme kuusisalauksella. Joka kerta sama asia: katkaista kirjeen kova kohdistaminen toiseen kirjaimeen. Sen on oltava vaihdettavissa. Miten se tehdään, jotta voit hallita sitä?

Ei valita mitä tahansa permutaatiota, vaan sellainen, jonka syklit ovat pituudeltaan 2. Yksinkertaisesti sanottuna jotain "Gaderipolukin" kaltaista, joka on kuvattu täällä muutama kuukausi sitten, mutta joka kattaa kaikki aakkosten kirjaimet. Sovitaan 24 kirjaimesta - ilman ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Kuinka monta tällaista permutaatiota? Tämä on ylioppilaiden tehtävä (heidän pitäisi pystyä ratkaisemaan se heti). Kuinka monta? Paljon? Useita tuhansia? Joo:

1912098225024001185793365052108800000000 (älä edes yritä lukea tätä numeroa). On niin monia mahdollisuuksia asettaa "nolla"-asema. Ja se voi olla vaikeaa.

Koneemme koostuu kahdesta pyöreästä kiekosta. Yhdessä niistä, joka on edelleen pystyssä, on kirjoitettu kirjeitä. Se on vähän kuin vanhan puhelimen kellotaulu, jossa valitsit numeron kääntämällä valitsinta kokonaan. Rotary on toinen, jolla on värimaailma. Helpoin tapa on laittaa ne tavallisen korkin päälle tapilla. Korkin sijasta voit käyttää ohutta levyä tai paksua pahvia. Lukasz Badowski ja Zasław Adamaszek suosittelevat molempien levyjen sijoittamista CD-laatikkoon.

Kuvittele, että haluamme koodata sanan ARMATY (Riisi. 2 ja 3). Aseta laite nolla-asentoon (nuoli ylös). Kirjain A vastaa kirjainta F. Kierrä sisäistä piiriä yksi kirjain oikealle. Meillä on koodattava kirjain R, nyt se vastaa A:ta. Seuraavan kierroksen jälkeen näemme, että kirjain M vastaa U:ta. Seuraava kierto (neljäs kaavio) antaa vastaavuuden A - P. Viidennellä valitsimella on T. - A. Lopuksi (kuudes ympyrä) K – Y Vihollinen ei luultavasti arvaa, että CFCFA:mme ovat hänelle vaarallisia. Ja miten "meidän" lukee lähetyksen? Heillä täytyy olla sama kone, sama "ohjelmoitu", eli samalla permutaatiolla. Salaus alkaa paikasta nolla. Joten F:n arvo on A. Käännä valitsinta myötäpäivään. Kirjain A liittyy nyt kirjaimeen R. Hän kääntää valitsinta oikealle ja U-kirjaimen alta löytää M:n jne. Salakirjoittaja juoksee kenraalin luo: "Kenraali, ilmoitan, aseet tulevat!"

Riisi. 3. Enigma-paperin toimintaperiaate.

Riisi. 3. Enigma-paperin toimintaperiaate.

Jopa tällaisen primitiivisen Enigman mahdollisuudet ovat hämmästyttäviä. Voimme valita muita lähtöpermutaatioita. Emme voi - ja täällä on vielä enemmän mahdollisuuksia - ei yhdellä "serifillä" säännöllisesti, vaan tietyssä, päivittäin muuttuvassa järjestyksessä, joka on samanlainen kuin kuusikulmio (esimerkiksi ensin kolme kirjainta, sitten seitsemän, sitten kahdeksan, neljä ... .. jne.).

Miten voit arvata?! Ja vielä puolalaisille matemaatikoille (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) tapahtui. Näin saatu tieto oli korvaamatonta. Aikaisemmin heillä oli yhtä tärkeä panos puolustusmme historiaan. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevitšjoka rikkoi Venäjän joukkojen sääntöjä vuonna 1920. Pysäytetty kaapeli antoi Piłsudskille mahdollisuuden tehdä kuuluisa manööveri Vepsz-joesta.

Muistan Vaslav Sierpinskin (1882-1969). Hän vaikutti matemaatikolta, jolle ulkomaailmaa ei ollut olemassa. Hän ei voinut puhua osallistumisestaan ​​voittoon vuonna 1920 sekä sotilaallisista että ... poliittisista syistä (Puolan kansantasavallan viranomaiset eivät pitäneet niistä, jotka puolustivat meitä Neuvostoliitolta).

Riisi. 4. Permutaatio (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Riisi. 5. Kaunis koristelu, mutta ei sovellu salaukseen. Liian säännöllisesti.

1-työ. Na kuva 4 sinulla on toinen permutaatio Enigman luomiseksi. Kopioi piirustus kserografiin. Rakenna auto, koodaa etu- ja sukunimesi. Minun CWONUE JTRYGT. Jos haluat pitää muistiinpanosi yksityisinä, käytä Cardboard Enigmaa.

2-työ. Salaa yhden näkemäsi "auton" nimesi ja sukunimesi, mutta (huomio!) lisäongelmalla: emme käännä pykälää oikealle, vaan kaavion {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - eli ensin yhdellä, sitten kahdella, sitten kolmella, sitten kahdella, sitten taas 2:llä, sitten 1:lla jne., tällainen "aalto" . Varmista, että etu- ja sukunimeni on salattu muodossa CZTTAK SDBITH. Ymmärrätkö nyt kuinka tehokas Enigma-kone oli?

Ongelmanratkaisua ylioppilaille. Kuinka monta määritysvaihtoehtoa Enigmalle (tässä versiossa, kuten artikkelissa on kuvattu)? Meillä on 24 kirjainta. Valitsemme ensimmäisen kirjainparin - tämä voidaan tehdä

tavoilla. Seuraava pari voidaan valita

tapoja, enemmän

jne. Vastaavien laskelmien jälkeen (kaikki luvut on kerrottava), saamme

151476660579404160000

Jaa sitten luku 12:lla! (12 tekijää), koska samat parit voidaan saada eri järjestyksessä. Joten lopulta saamme "yhteensä"

316234143225,

Se on hieman yli 300 miljardia, mikä ei vaikuta hämmästyttävän suurelta luvulta nykypäivän supertietokoneille. Kuitenkin, jos itse permutaatioiden satunnainen järjestys otetaan huomioon, tämä luku kasvaa merkittävästi. Voimme ajatella myös muun tyyppisiä permutaatioita.

Katso myös: