Artikkeli ei mistään

Minua kiehtoi lapsena luultavasti monien lukijoiden tuntema tarina "keitosta kynnellä". Isoäitini (syntymä XNUMX. vuosisadalla) kertoi minulle tämän versiossa "Kasakka tuli ja pyysi vettä, koska hänellä on kynsi ja hän keittää sillä keittoa." Utelias emäntä antoi hänelle kattilan vettä… ja tiedämme mitä seuraavaksi tapahtui: "keiton tulee olla suolaista, daitye, mummo, suolaa", sitten hän pesi lihan "maun parantamiseksi" ja niin edelleen. Lopulta hän heitti pois "keitetyn" kynnen.

Tämän artikkelin piti siis puhua avaruuden tyhjyydestä - ja tämä koskee eurooppalaisen laitteen laskeutumista komeetalle 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. marraskuuta 2014. Mutta kirjoittaessani taipuin pitkäaikaiseen tapaan, Olen edelleen matemaatikko. Miten on kanssa Kutenс Nolla matematiikassa?

Miten Mitään ei ole olemassa?

Ei voida sanoa, ettei mitään ole olemassa. Se on olemassa ainakin filosofisena, matemaattisena, uskonnollisena ja täysin puhekielenä. Nolla on tavallinen luku, nolla astetta lämpömittarissa on myös lämpötila, ja nollasaldo pankissa on epämiellyttävä, mutta yleinen ilmiö. Huomaa, että kronologiassa ei ole nollavuotta, ja tämä johtuu siitä, että nolla otettiin matematiikkaan vasta myöhäisellä keskiajalla, myöhemmin kuin munkki Dionysioksen ehdottama kronologia (XNUMX. vuosisata).

Kummallista kyllä, me todella pärjäisimme ilman tätä nollaa ja siten ilman negatiivisia lukuja. Yhdestä logiikan oppikirjasta löysin harjoituksen: piirrä tai sano, kuinka kuvittelet kalojen puuttumisen. Hämmästyttävää, eikö? Kuka tahansa osaa piirtää kalan, mutta ei yhtä?

Nyt lyhyesti matematiikan peruskurssi. Olemassaolooikeuden myöntäminen tyhjälle joukolle, joka on merkitty yliviivatulla ympyrällä ∅, on välttämätön menettely, joka on analoginen nollan lisäämiseen lukujoukkoon. Tyhjä joukko on ainoa joukko, joka ei sisällä yhtään elementtiä. Tällaisia ​​kokoelmia:

Mutta ei ole olemassa kahta erilaista tyhjää sarjaa. Tyhjä sarja sisältyy jokaiseen toiseen sarjaan:

Todellakin, matemaattisen logiikan säännöt sanovat, että joukko A sisältyy joukkoon B, jos ja vain, jos lause:

se edellyttää

Tyhjän joukon ∅ tapauksessa väite on aina epätosi, joten implikaatio on logiikan lakien mukaan yleensä tosi. Kaikki juontaa juurensa valheesta ("tässä minä kasvatan kaktuksen, jos siirryt seuraavalle luokalle..."). Joten koska tyhjä joukko sisältyy jokaiseen muihin, niin jos ne olisivat kaksi erilaista, kukin niistä sisältyisi toiseen. Kuitenkin, jos kaksi joukkoa sisältyy toisiinsa, ne ovat yhtä suuret. Siksi: on vain yksi tyhjä sarja!

Tyhjän joukon olemassaolon postulaatti ei ole ristiriidassa minkään matematiikan lain kanssa, joten miksi et soveltaisi sitä käytännössä? Filosofinen periaate nsOccamin partaveitsi» Käsky sulkea pois tarpeettomat käsitteet, mutta juuri oikea tyhjän joukon käsite on erittäin hyödyllinen matematiikassa. Huomaa, että tyhjän joukon mitta on -1 (miinus yksi) - nollaulotteiset alkiot ovat pisteitä ja niiden harvat järjestelmät, yksiulotteiset elementit viivoja ja puhuimme luvussa erittäin monimutkaisista matemaattisista elementeistä, joilla on fraktaalimitta. fraktaaleissa.

On mielenkiintoista, että koko matematiikan rakennus: luvut, luvut, funktiot, operaattorit, integraalit, differentiaalit, yhtälöt ... voidaan johtaa yhdestä käsitteestä - tyhjästä joukosta! Riittää, kun oletetaan, että joukko on tyhjä, vasta luodut elementit voidaan yhdistää sarjoiksi rakentaa kaikki matematiikka. Näin saksalainen logiikka Gottlob Frege rakensi luonnolliset luvut. Nolla on joukko joukkoja, joiden alkiot vastaavat keskenään tyhjän joukon alkioita. Yksi on joukko joukkoja, joiden alkiot vastaavat keskenään joukon alkioita, joiden ainoa alkio on tyhjä joukko. Two on joukko joukkoja, joiden alkiot ovat yksi yhteen joukon elementtien kanssa, jotka koostuvat tyhjästä joukosta ja joukosta, jonka ainoa alkio on tyhjä joukko... ja niin edelleen. Ensi silmäyksellä tämä näyttää olevan jotain hyvin monimutkaista, mutta todellisuudessa se ei ole sitä.

Sininen levisi päälleni

tuoksui kanervalta ja tuoksui mintulta...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Sitä on vaikea kuvitella

Mikään ei ole vaikea kuvitella. Stanisław Lemin tarinassa "Kuinka maailma pelastettiin" suunnittelija Trurl rakensi koneen, joka teki kaiken kirjaimesta alkaen. Kun Klapaucius määräsi sen rakentamaan Nic, kone alkoi poistaa erilaisia ​​esineitä maailmasta - lopullisena tavoitteena poistaa kaikki. Kun pelästynyt Klapaucius pysäytti auton, keittiöt, marjakuusit, roikkuvat, hakkerot, riimit, vatkat, puffit, jauhatuskoneet, vartaat, filidronit ja pakkaset olivat kadonneet maailmasta ikuisiksi ajoiksi. Ja todellakin, ne katosivat ikuisesti ...

Józef Tischner kirjoitti erittäin hyvin tyhjyydestä Vuoristofilosofian historiassa. Viime lomallani päätin kokea tämän tyhjyyden, nimittäin kävin Podhalessa Nowy Targin ja Jabłonkan välissä olevilla turvesuoilla. Tätä aluetta kutsutaan jopa Pustachiaksi. Menet, menet, mutta tie ei vähene - tietenkään vaatimattomassa Puolan mittakaavassamme. Eräänä päivänä menin bussilla Kanadan Saskatchewanin maakunnassa. Ulkona oli viljapelto. Nukuin puoli tuntia. Kun heräsin, ajoimme saman maissipellon läpi... Mutta odota, onko tämä tyhjä? Tietyssä mielessä muutoksen puuttuminen on vain tyhjyyttä.

Olemme tottuneet erilaisten esineiden jatkuvaan läsnäoloon ympärillämme ja alkaen Jotain et voi paeta edes silmät kiinni. "Ajattelen, siis olen", sanoi Descartes. Jos olen jo ajatellut jotain, olen olemassa, mikä tarkoittaa, että maailmassa on ainakin jotain (eli minä). Onko sitä, mitä luulin, olemassa? Tästä voidaan keskustella, mutta nykyaikaisessa kvanttimekaniikassa Heisenbergin periaate tunnetaan: jokainen havainto häiritsee havaitun kohteen tilaa. Kunnes näemme sen Nic sitä ei ole olemassa, ja kun alamme etsiä, kohde lakkaa olemasta Kuten ja siitä tulee Jotain. Menee absurdiksi antrooppinen periaate: Ei ole mitään järkeä kysyä, millainen maailma olisi, jos meitä ei olisi olemassa. Maailma on sitä miltä meistä näyttää. Ehkä muut olennot näkevät maan kulmikkaana?

Positroni (kuten positiivinen elektroni) on reikä avaruudessa, "ei ole elektronia". Anihilaatioprosessissa elektroni hyppää tähän reikään ja "mitään ei tapahdu" - ei ole reikää, ei elektronia. Ohitan monia vitsejä sveitsiläisen juuston reikistä ("mitä enemmän minulla on, sitä vähemmän siellä ..."). Kuuluisa säveltäjä John Cage oli jo käyttänyt ajatuksiaan siinä määrin, että hän sävelsi (?) musiikkiteoksen (?), jossa orkesteri istuu liikkumattomana 4 minuuttia 33 sekuntia eikä tietenkään soita mitään. "Neljä minuuttia ja kolmekymmentäkolme sekuntia on kaksisataa seitsemänkymmentäkolme, 273 ja miinus 273 astetta on absoluuttinen nolla, johon kaikki liike pysähtyy", säveltäjä (?) selitti.

Suodata nollaan, ei mitään, nick, nick, ei mitään, nolla!

Jerzy Andrzej Wajdan elokuvassa Vuosien mittaan,

päivät kuluvat"

Entä kaikki?

Monet ihmiset (yksinkertaisista maanviljelijöistä merkittäviin filosofeihin) ihmettelivät olemassaolon ilmiötä. Matematiikassa tilanne on yksinkertainen: on jotain, joka on johdonmukaista.

Hän katosi marginaalikenttiin

Ruiskukissa, rikkaruohoissa ja leijonan suussa...

No, tällaisia ​​asioita tapahtuu

Varsinkin sadonkorjuun aikana ja sadonkorjuun aikana

erityisesti…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Kaikki on Minkään toisessa ääripäässä. Matematiikassa sen tiedämme Kaikkea ei ole olemassa. Aivan liian epätarkka käsitys siitä, että hänen olemassaolostaan ​​ei kiistettäisi. Tämä voidaan ymmärtää esimerkillä vanhasta paradoksista: "Jos Jumala on kaikkivaltias, luo kivi poimittavaksi?" Matemaattinen todiste siitä, ettei kaikkien joukkojen joukkoa voi olla, perustuu lauseeseen laulaja-Bershtein, joka sanoo, että "ääretön luku" (matemaattinen: perusluku) tietyn joukon kaikkien jäsenten joukko on suurempi kuin tämän joukon alkioiden lukumäärä.

Jos joukossa on elementtejä, niin siinä on 2ⁿ osajoukot; esimerkiksi kun = 3 ja joukko koostuu {1, 2, 3}, niin seuraavat osajoukot ovat olemassa:

• kolme kaksielementtijoukkoa: jokaisesta puuttuu yksi numeroista 1, 2, 3,
• yksi tyhjä sarja,
• kolme yhden elementin sarjaa,
• koko sarja {1,2,3}

– vain kahdeksan, 2³Ja lukijat, jotka ovat äskettäin valmistuneet koulusta, haluaisin muistaa vastaavan kaavan:

Jokainen tämän kaavan Newtonin symboleista määrittää k-elementtijoukkojen määrän -elementtijoukossa.

Matematiikassa binomiaaliset kertoimet esiintyvät monissa muissa paikoissa, kuten mielenkiintoisissa kaavoissa pelkistetylle kertolaskulle:

ja niiden tarkan muodon perusteella niiden keskinäinen riippuvuus on paljon mielenkiintoisempaa.

On vaikea ymmärtää, mikä - mitä tulee logiikkaan ja matematiikkaan - on ja mitä Kaikki ei ole. Argumentit olemattomuuden puolesta Aivan sama kuin Nalle Puh, joka kysyi kohteliaasti vieraaltaan Tigeriltä, ​​pitävätkö tiikerit ollenkaan hunajasta, tammenterhoista ja ohdakkeista? "Tiikerit pitävät kaikesta", vastasi se, josta Kubus päätteli, että jos he pitävät kaikesta, he haluavat myös nukkua lattialla, joten hän, Vinnie, voi palata sänkyyn.

Toinen argumentti Russellin paradoksi. Kaupungissa on parturi, joka ajelee kaikki miehet, jotka eivät ajele itseään. Ajeleeko hän itsensä? Molemmat vastaukset ovat ristiriidassa sen ehdon kanssa, että he tappavat ne, ja vain ne, jotka eivät tee sitä itse.

Etsitään kokoelmaa kaikista kokoelmista

Lopuksi annan näppärän, mutta matemaattisimman todisteen siitä, ettei ole olemassa kaikkien joukkojen joukkoa (ei pidä sekoittaa siihen).

Ensin osoitamme, että mille tahansa ei-tyhjälle joukolle X on mahdotonta löytää molemminpuolisesti ainutlaatuista funktiota, joka kuvaa tämän joukon sen osajoukkojen P(X) joukkoon. Oletetaan siis, että tämä funktio on olemassa. Merkitään se perinteisellä f:llä. Mikä on f x:stä? Tämä on kokoelma. Kuuluuko xf x:ään? Tämä on tuntematon. Joko on pakko tai sitten ei. Mutta jollekin x:lle sen on silti oltava sellainen, ettei se kuulu x:n f:ään. No, harkitse sitten kaikkien x:n joukkoa, joille x ei kuulu f(x:ään). Merkitse se (tämä joukko) A:lla. Se vastaa jotakin joukon X alkiota a. Kuuluuko a joukon A? Oletetaan, että sinun pitäisi. Mutta A on joukko, joka sisältää vain ne x:n alkiot, jotka eivät kuulu f(x):ään... No, ehkä se ei kuulu A:han? Mutta joukko A sisältää kaikki tämän ominaisuuden alkiot, ja siten myös A. Todistuksen loppu.

Siksi, jos olisi joukko kaikkia joukkoja, se olisi itse itsensä osajoukko, mikä on mahdotonta edellisen päättelyn mukaan.

Huh, en usko, että monet lukijat ovat nähneet tätä todistetta. Pikemminkin otin sen esille osoittaakseni, mitä matemaatikoiden oli tehtävä XNUMX-luvun lopulla, kun he alkoivat tutkia oman tieteensä perusteita. Kävi ilmi, että ongelmat ovat siellä, missä kukaan ei odottanut niitä. Lisäksi koko matematiikan kannalta näillä perusteilla ei ole merkitystä: tapahtuipa kellareissa mitä tahansa - koko matematiikan rakennus seisoo kiinteällä kalliolla.

Samaan aikaan ylhäällä...

Panemme merkille vielä yhden moraalin Stanislav Lemin tarinoista. Yhdellä matkallaan Iyon Tichi saavutti planeetan, jonka asukkaat saavuttivat pitkän evoluution jälkeen vihdoin korkeimman kehitysasteen. He ovat kaikki vahvoja, he voivat tehdä mitä tahansa, heillä on kaikki käden ulottuvilla… eivätkä he tee mitään. He makaavat hiekalle ja kaadavat sitä sormiensa väliin. "Jos kaikki on mahdollista, se ei ole sen arvoista", he selittävät järkyttyneelle Ijonille. Eikö tämä tapahdu eurooppalaiselle sivilisaatiollemme...