KENELLE, eli: KOKEILE MISSÄ VOIT - osa 2

Edellisessä jaksossa käsittelimme Sudokua, aritmeettista peliä, jossa numerot on pohjimmiltaan järjestetty erilaisiin kaavioihin tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Yleisin variantti on 9×9 shakkilauta, joka on lisäksi jaettu yhdeksään 3×3 soluun. Numerot 1-9 on asetettava siihen niin, että ne eivät toistu pystyrivillä (matemaatikot sanovat: sarakkeessa) tai vaakasuoralla rivillä (matemaatikot sanovat: rivissä) - ja lisäksi niin, että ne eivät toista. toista missä tahansa pienemmässä neliössä.

Na kuva 1 näemme tämän palapelin yksinkertaisemmassa versiossa, joka on 6 × 6 neliö jaettuna 2 × 3 suorakulmioon. Laitamme siihen numerot 1, 2, 3, 4, 5, 6 - jotta ne eivät toistu pystysuunnassa, eivätkä myöskään vaakasuunnassa eikä jokaisessa valitussa kuusikulmiossa.

Kokeillaan yläruudussa näkyvää. Voitko täyttää sen numeroilla 1-6 tämän pelin sääntöjen mukaisesti? Se on mahdollista – mutta epäselvää. Katsotaanpa - piirrä neliö vasemmalle tai neliö oikealle.

Voimme sanoa, että tämä ei ole palapelin perusta. Yleensä oletetaan, että palapelillä on yksi ratkaisu. Tehtävä löytää "isolle" Sudokulle, 9x9, eri pohjat, on vaikea tehtävä, eikä sitä ole mahdollista ratkaista kokonaan.

Toinen tärkeä yhteys on ristiriitainen järjestelmä. Alempaa keskimmäistä neliötä (se, jonka numero on 2 oikeassa alakulmassa) ei voi täyttää. Miksi?

Hauskaa ja retriittejä

Pelaamme edelleen. Käytetään lasten intuitiota. He uskovat, että viihde on johdatus oppimiseen. Mennään avaruuteen. kytketty päälle kuva 2 kaikki näkevät ruudukon tetraedripalloista, esimerkiksi pingispalloista? Muistakaamme geometrian koulutunnit. Kuvan vasemman reunan värit kertovat, mihin se liimataan lohkoa koottaessa. Erityisesti kolme kulmapalloa (punainen) liimataan yhdeksi. Siksi niiden on oltava sama numero. Ehkä 9. Miksi? Ja miksi ei?

Voi, en ilmaissut sitä tehtäviä. Se kuulostaa suunnilleen tältä: onko mahdollista kirjoittaa numerot 0-9 näkyvään ruudukkoon niin, että jokaisella sivulla on kaikki numerot? Tehtävä ei ole vaikea, mutta kuinka paljon sinun täytyy kuvitella! En pilaa lukijoiden iloa enkä anna ratkaisua.

Tämä on erittäin kaunis ja aliarvioitu muoto. säännöllinen oktaedri, rakennettu kahdesta pyramidista (=pyramideista), joiden pohja on neliö. Kuten nimestä voi päätellä, oktaedrilla on kahdeksan pintaa.

Oktaedrissa on kuusi kärkeä. Se on ristiriidassa kuutiojossa on kuusi pintaa ja kahdeksan kärkeä. Molempien kyhmyjen reunat ovat samat - kumpaakin kaksitoista. Tämä kaksinkertainen kiintoaine - tämä tarkoittaa, että yhdistämällä kuution pintojen keskipisteet saamme oktaedrin ja oktaedrin pintojen keskipisteet antavat meille kuution. Molemmat näistä töyssyistä toimivat ("koska heidän täytyy") Eulerin kaava: Piikkien lukumäärän ja pintojen lukumäärän summa on 2 enemmän kuin reunojen lukumäärä.

3. Säännöllinen oktaedri yhdensuuntaisessa projektiossa ja oktaedrihila, joka koostuu palloista siten, että jokaisessa reunassa on neljä palloa.

1-työ. Kirjoita ensin edellisen kappaleen viimeinen virke matemaattisen kaavan avulla. Käytössä kuva 3 näet oktaederisen ruudukon, joka myös koostuu palloista. Jokaisessa reunassa on neljä palloa. Jokainen kasvo on kymmenen pallon kolmio. Ongelma asetetaan itsenäisesti: onko mahdollista laittaa numeroita 0 - 9 ruudukon ympyröihin niin, että kiinteän kappaleen liimauksen jälkeen jokainen seinä sisältää kaikki numerot (seuraa, että ilman toistoa). Kuten ennenkin, suurin vaikeus tässä tehtävässä on kuinka verkko muutetaan kiinteäksi kappaleeksi. En voi selittää sitä kirjallisesti, joten en anna ratkaisua tässäkään.

4. Kaksi ikosaedria pingispalloista. Huomaa erilainen värimaailma.

jo Platon (ja hän asui XNUMX.-XNUMX. vuosisadalla eKr.) tiesi kaikki säännölliset monitahot: tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri i icosahedron. On hämmästyttävää, kuinka hän pääsi sinne – ei kynää, ei paperia, ei kynää, ei kirjoja, ei älypuhelinta, ei internetiä! En puhu dodekaedrista tässä. Mutta ikosahedrinen sudoku on mielenkiintoinen. Näemme tämän palan päällä kuva 4ja sen verkkoon rys. viisi.

5. Ikosaedrin säännöllinen verkko.

Kuten ennenkin, tämä ei ole ruudukko siinä mielessä, jossa muistamme (?!) koulusta, vaan tapa liimata palloista (palloista) kolmioita.

2-työ. Kuinka monta palloa tällaisen ikosaedrin rakentamiseen tarvitaan? Pitääkö edelleen paikkansa seuraava päättely: koska jokainen kasvo on kolmio, jos kasvoja on oltava 20, niin silloin tarvitaan jopa 60 palloa?

6. Ikosaedrin ruudukko palloista. Jokainen ympyrä on esimerkiksi pingispallo, mutta samalla värillä merkittyjen ympyröiden muodostaminen ympyröistä sulautuu yhdeksi. Meillä on siis kaksitoista palloa (= kaksitoista kärkeä: punainen, sininen, violetti, sininen ja kahdeksan keltaista).

On helppo nähdä, että kolme numeroa ikosaedrissa ei riitä. Tarkemmin sanottuna: on mahdotonta luetella pisteitä numeroilla 1, 2, 3 niin, että jokaisessa (kolmio)pinnassa on nämä kolme numeroa eikä toistoja ole. Onko se mahdollista neljällä numerolla? Kyllä se on mahdollista! Katsotaanpa Riisi. 6 ja 7.

7. Näin voit numeroida ikosaedrin muodostavat pallot niin, että jokainen pinta sisältää muita lukuja kuin 1, 2, 3, 4. Mitkä kappaleet kuvassa 4? Onko XNUMX väritetty näin?

3-työ. Kolme neljästä numerosta voidaan valita neljällä tavalla: 123, 124, 134, 234. Etsi viisi tällaista kolmiota kuvan 7 ikosaedrista. XNUMX (sekä alkaen kuvituksia yksi).

4-tehtävä (vaatii erittäin hyvää tilamielikuvitusta). Ikosaedrissa on kaksitoista kärkeä, mikä tarkoittaa, että se voidaan liimata yhteen kahdestatoista pallosta (kuva 7). Huomaa, että on kolme kärkeä (= palloa), jotka on merkitty 1:llä, kolme 2:lla ja niin edelleen. Siten samanväriset pallot muodostavat kolmion. Mikä tämä kolmio on? Ehkä tasasivuinen? Katso uudestaan kuvituksia yksi.

Seuraava tehtävä isoisälle/isoäidille ja pojanpojalle/tyttärenlapselle. Vanhemmatkin voivat vihdoin kokeilla käsiään, mutta he tarvitsevat kärsivällisyyttä ja aikaa.

5-työ. Osta kaksitoista (mieluiten 24) pingispalloa, noin neljän värin maalia, sivellin ja oikea liima - en suosittele nopeita, kuten Superglue tai Droplet, koska ne kuivuvat liian nopeasti ja ovat vaarallisia lapsille. Liimaa ikosaedriin. Pue tyttärentytär T-paitaan, joka pestään (tai heitetään pois) heti sen jälkeen. Peitä pöytä foliolla (mieluiten sanomalehdillä). Väritä ikosaedri varovasti neljällä värillä 1, 2, 3, 4 kuvan XNUMX mukaisesti. kuva 7. Voit muuttaa järjestystä - ensin väritä ilmapallot ja sitten liimaa ne. Pienet ympyrät tulee samalla jättää maalaamatta, jotta maali ei tartu maaliin.

Nyt vaikein tehtävä (tarkemmin sanottuna koko sekvenssi).

6-tehtävä (Tarkemmin, yleinen teema). Piirrä ikosaedri tetraedrina ja oktaedrina Riisi. 2 ja 3 Tämä tarkoittaa, että kummassakin reunassa tulee olla neljä palloa. Tässä versiossa tehtävä on sekä aikaa vievä että jopa kallis. Aloitetaan selvittämällä kuinka monta palloa tarvitset. Jokaisella pinnalla on kymmenen palloa, joten ikosaedri tarvitsee kaksisataa? Ei! Meidän on muistettava, että monet pallot ovat yhteisiä. Kuinka monta reunaa ikosaedrilla on? Se voidaan laskea huolella, mutta mihin Eulerin kaava on?

w–k+s=2

missä w, k, s ovat kärkien, reunojen ja pintojen lukumäärä, vastaavasti. Muistamme, että w = 12, s = 20, mikä tarkoittaa k = 30. Meillä on 30 ikosaedrin reunaa. Voit tehdä sen eri tavalla, koska jos kolmioita on 20, niillä on vain 60 reunaa, mutta kaksi niistä on yleisiä.

Lasketaan kuinka monta palloa tarvitset. Jokaisessa kolmiossa on vain yksi sisäinen pallo - ei kehomme yläosassa eikä reunassa. Meillä on siis yhteensä 20 tällaista palloa. Huippuja on 12. Jokaisessa reunassa on kaksi ei-vertex-palloa (ne ovat reunan sisällä, mutta eivät kasvojen sisällä). Koska reunoja on 30, marmoria on 60, mutta kaksi niistä on jaettu, mikä tarkoittaa, että tarvitset vain 30 marmoria, joten tarvitset yhteensä 20 + 12 + 30 = 62 marmoria. Palloja voi ostaa vähintään 50 pennillä (yleensä kalliimpia). Jos lisäät liiman kustannukset, se tulee ulos ... paljon. Hyvä liimaus vaatii useiden tuntien huolellista työtä. Yhdessä ne sopivat rentouttavaan ajanviettoon - suosittelen niitä esimerkiksi television katselun sijaan.

Retriitti 1. Andrzej Wajdan elokuvasarjassa Vuodet, päivät kaksi miestä pelaa shakkia, "koska heidän on jotenkin vietettävä aika illalliseen". Se tapahtuu Galician Krakovassa. Todellakin: sanomalehdet on jo luettu (siis niitä oli 4 sivua), televisiota ja puhelinta ei ole vielä keksitty, jalkapallo-otteluita ei ole. Tylsyys lätäköissä. Tällaisessa tilanteessa ihmiset keksivät viihdettä itselleen. Tänään meillä on ne kaukosäätimen painalluksen jälkeen...

Retriitti 2. Matematiikan opettajien liiton 2019 kokouksessa espanjalainen professori esitteli tietokoneohjelmaa, jolla voidaan maalata kiinteät seinät millä tahansa värillä. Se oli vähän kammottavaa, koska he piirsivät vain käsiä, melkein leikkasivat vartalon irti. Ajattelin itsekseni: kuinka paljon hauskaa voi saada tällaisesta "varjostuksesta"? Kaikki kestää kaksi minuuttia, ja neljäntenä emme muista mitään. Samaan aikaan vanhanaikainen "käsityö" rauhoittaa ja kouluttaa. Joka ei usko, kokeilkoon.

Palataanpa XNUMX. vuosisadalle ja todellisuutemme. Jos emme halua rentoutumista pallojen työläs liimauksen muodossa, piirretään ainakin ikosaedrin ruudukko, jonka reunoilla on neljä palloa. Kuinka tehdä se? Leikkaa se oikein rys. viisi. Huomaavainen lukija arvaa jo ongelman:

7-työ. Onko mahdollista luetella pallot numeroilla 0-9 niin, että kaikki nämä luvut näkyvät tällaisen ikosaedrin jokaisella sivulla?

Mistä meille maksetaan?

Nykyään kysymme usein itseltämme toimintamme tarkoituksen, ja "harmaa veronmaksaja" kysyy, miksi hänen pitäisi maksaa matemaatikoille tällaisten pulmien ratkaisemisesta?

Vastaus on melko yksinkertainen. Sellaiset sinänsä mielenkiintoiset "palapelit" ovat "pala jotain vakavampaa". Sotilaalliset paraatithan ovat vain ulkoinen, näyttävä osa vaikeaa palvelusta. Annan vain yhden esimerkin, mutta aloitan oudosta mutta kansainvälisesti tunnustetusta matemaattisesta aiheesta. Vuonna 1852 englantilainen opiskelija kysyi professoriltaan, onko mahdollista värittää kartta neljällä värillä niin, että naapurimaat näytetään aina eri väreillä? Haluan lisätä, että emme pidä "naapureina" niitä, jotka kohtaavat vain yhdessä kohdassa, kuten Wyomingin ja Utahin osavaltiot Yhdysvalloissa. Professori ei tiennyt... ja ongelma oli odottanut ratkaisua yli sata vuotta.

8. Ikosaedri RECO-lohkoista. Salamaheijastimet näyttävät, mitä yhteistä ikosaedrilla on kolmion ja viisikulmion kanssa. Viisi kolmiota konvergoi jokaisessa kärjessä.

Se tapahtui odottamattomalla tavalla. Vuonna 1976 ryhmä amerikkalaisia ​​matemaatikoita kirjoitti ohjelman tämän ongelman ratkaisemiseksi (ja he päättivät: kyllä, neljä väriä riittää aina). Tämä oli ensimmäinen todiste matemaattisesta tosiasiasta, joka saatiin "matemaattisen koneen" avulla - kuten tietokonetta kutsuttiin puoli vuosisataa sitten (ja vielä aikaisemmin: "elektroniset aivot").

Tässä on erityisesti esitetty "Euroopan kartta" (kuva 9). Ne maat, joilla on yhteinen raja, ovat yhteydessä toisiinsa. Kartan väritys on sama kuin tämän kaavion ympyröiden (kutsutaan kuvaajaksi) värjääminen siten, että yksikään yhdistetty ympyrä ei ole samanvärinen. Katsaus Liechtensteiniin, Belgiaan, Ranskaan ja Saksaan osoittaa, että kolme väriä ei riitä. Halutessasi, lukija, väritä se neljällä värillä.

9. Kuka rajoittuu kenen kanssa Euroopassa?

Kyllä, mutta onko se veronmaksajien rahojen arvoista? Katsotaanpa siis samaa kaaviota hieman eri tavalla. Unohda, että on valtioita ja rajoja. Olkoot ympyrät symboloivat tietopaketteja, jotka lähetetään pisteestä toiseen (esimerkiksi P:stä EST:hen), ja segmentit edustavat mahdollisia yhteyksiä, joista jokaisella on oma kaistanleveys. Lähetetäänkö mahdollisimman pian?

Ensin tarkastellaan hyvin yksinkertaistettua, mutta myös erittäin mielenkiintoista tilannetta matemaattisesta näkökulmasta. Meidän on lähetettävä jotain pisteestä S (= aloituksena) pisteeseen M (= lopetus) käyttämällä yhteysverkkoa, jolla on sama kaistanleveys, esimerkiksi 1. Näemme tämän kuva 10.

10. Yhteysverkko Statsyika Zdrójista Megapolikseen.

Kuvitellaan, että noin 89 bittiä tietoa on lähetettävä S:stä M:ään. Näiden sanojen kirjoittaja pitää junien ongelmista, joten hän kuvittelee olevansa johtaja Stacie Zdrójissa, josta hänen on lähetettävä 144 vaunua. metropoliasemalle. Miksi juuri 144? Koska, kuten näemme, tätä käytetään koko verkon suorituskyvyn laskemiseen. Kapasiteetti on 1 jokaisessa erässä, ts. yksi auto voi kulkea aikayksikköä kohden (yksi tietobitti, mahdollisesti myös gigatavu).

Varmistetaan, että kaikki autot kohtaavat samaan aikaan M:ssä. Kaikki ehtivät perille 89 aikayksikössä. Jos minulla on lähetettävänä erittäin tärkeä tietopaketti S:stä M:ään, jaan sen 144 yksikön ryhmiin ja työntelen sen läpi kuten yllä. Matematiikka takaa, että tämä on nopein. Mistä tiesin, että tarvitset 89? Itse asiassa arvasin, mutta jos en arvannut, minun täytyisi selvittää se Kirchhoffin yhtälöt (muistaako kukaan? - nämä ovat yhtälöitä, jotka kuvaavat virran kulkua). Verkon kaistanleveys on 184/89, mikä on suunnilleen 1,62.

Tietoja ilosta

Muuten, pidän numerosta 144. Tykkäsin matkustaa tällä numerolla bussilla Varsovan Linnaaukiolle - kun sen vieressä ei ollut kunnostettua kuninkaanlinnaa. Ehkä nuoret lukijat tietävät, mitä tusina on. Se on 12 kappaletta, mutta vain vanhemmat lukijat muistavat, että kymmenkunta tusinaa, ts. 122=144, tämä on niin kutsuttu erä. Ja jokainen, joka tietää matematiikasta hieman enemmän kuin koulun opetussuunnitelmaa, ymmärtää sen heti kuva 10 meillä on Fibonacci-luvut ja että verkon kaistanleveys on lähellä "kultaista numeroa"

Fibonacci-sarjassa 144 on ainoa luku, joka on täydellinen neliö. Sataneljäkymmentäneljä on myös "iloinen luku". Näin intialainen amatöörimatemaatikko Dattatreya Ramachandra Caprecar vuonna 1955 hän nimesi luvut, jotka ovat jaollisia niiden muodostavien numeroiden summalla:

Jos hän sen tietäisi Adam Mickiewicz, hän olisi varmasti kirjoittanut ei Dzyadyksi: "Oudolta äidiltä; hänen verensä on hänen vanhat sankarinsa / Ja hänen nimensä on neljäkymmentäneljä, vain tyylikkäämpi: Ja hänen nimensä on sataneljäkymmentäneljä.

Ota viihde vakavasti

Toivon, että olen saanut lukijat vakuuttuneiksi siitä, että Sudoku-palapelit ovat hauskin puoli kysymyksissä, jotka ansaitsevat ottaa ne vakavasti. En voi kehittää tätä aihetta enempää. Oh, koko verkon kaistanleveyslaskelma oheisesta kaaviosta kuva 9 yhtälöjärjestelmän kirjoittaminen kestäisi kaksi tai enemmän tuntia - ehkä jopa kymmeniä sekunteja (!) tietokonetyötä.