Värilliset neliöt ja auringonpimennykset
Artikkeli kuvaa luokkaani yläkoulun opiskelijoille - National Children's Fundin stipendiaateille. Säätiö etsii erityisen lahjakkaita lapsia ja nuoria (alakoulun XNUMX luokalta lukioon) ja tarjoaa "stipendejä" valituille opiskelijoille. Ne eivät kuitenkaan tarkoita lainkaan käteisen nostamista, vaan kokonaisvaltaista hoitoa lahjakkuuksien kehittämisestä pääsääntöisesti useiden vuosien ajan. Toisin kuin monet muut tämäntyyppiset hankkeet, tunnetut tiedemiehet, kulttuurihenkilöt, huomattavat humanistit ja muut viisaat sekä jotkut poliitikot ottavat säätiön osastot vakavasti.
Säätiön toiminta kattaa kaikki peruskoulun oppiaineet, paitsi urheilu, taide mukaan lukien. Rahasto perustettiin vuonna 1983 vastalääkkeeksi silloiselle todellisuudelle. Rahastoon voi hakea kuka tahansa (yleensä koulun kautta, mieluiten ennen lukuvuoden loppua), mutta tietysti on olemassa tietty seula, tietty kelpoisuusmenettely.
Kuten jo mainitsin, artikkeli perustuu mestarikursseihini, erityisesti Gdyniassa maaliskuussa 2016, III lukion 24. yläkoulussa. Laivasto. Näitä seminaareja on useiden vuosien ajan järjestänyt säätiön suojeluksessa Wojciech Thomalczyk, poikkeuksellisen karisman ja korkean henkisen tason opettaja. Vuonna 2008 hän pääsi Puolan kymmenen parhaan joukkoon, joille myönnettiin pedagogiikan professorin arvo (mitä vuosia sitten lailla). Väite on hieman liioiteltu: "Koulutus on maailman akseli".
ja kuu ovat aina kiehtovia - silloin voit tuntea, että elämme pienellä planeetalla valtavassa avaruudessa, jossa kaikki on liikkeessä sentteinä ja sekunteina mitattuna. Se jopa pelottaa minua hieman, myös aikaperspektiivi. Saamme tietää, että seuraava täydellinen pimennys, joka näkyy tämän päivän Varsovan alueelta, on ... 2681. Ihmettelen kuka sen näkee? Auringon ja kuun näennäiset koot taivaallamme ovat lähes samat - siksi pimennykset ovat niin lyhyitä ja näyttäviä. Vuosisatojen ajan näiden lyhyiden minuuttien pitäisi riittää tähtitieteilijöille näkemään aurinkokoronan. On outoa, että niitä tapahtuu kahdesti vuodessa... mutta se tarkoittaa vain, että jossain maan päällä niitä voidaan nähdä lyhyen ajan. Vuorovesiliikkeiden seurauksena Kuu on siirtymässä pois maasta - 260 miljoonan vuoden kuluttua se on niin kaukana, että me (me???) näemme vain rengasmaisia pimennyksiä.
Ilmeisesti ensimmäinen, joka ennustaa pimennys, oli Thales Miletosta (28-585 vuosisatoja eKr.). Emme todennäköisesti tiedä, tapahtuiko se todella, toisin sanoen ennustiko hän sen, koska se tosiasia, että Pimennys Vähä-Aasiassa tapahtui toukokuussa 567, 566 eKr., on nykyaikaisten laskelmien vahvistama tosiasia. Tietenkin lainaan tämän päivän ajan tietoja. Kun olin lapsi, kuvittelin kuinka ihmiset laskivat vuosia. Joten tämä on esimerkiksi XNUMX eKr., uudenvuodenaatto on tulossa ja ihmiset iloitsevat: vain XNUMX vuotta eKr.! Kuinka onnellisia heidän on täytynyt olla, kun ”aikamme” vihdoin saapui! Millaisen vuosituhansien vaihteen koimme muutama vuosi sitten!
Päivämäärien ja vaihteluvälien laskemisen matematiikka pimennykset, ei ole erityisen monimutkainen, mutta se on täynnä kaikenlaisia tekijöitä, jotka liittyvät säännöllisyyteen ja mikä vielä pahempaa, kehon epätasaiseen liikkeeseen kiertoradalla. Haluaisin jopa tietää tämän matematiikan. Kuinka Thales of Miletos pystyi tekemään tarvittavat laskelmat? Vastaus on yksinkertainen. Sinulla täytyy olla taivaskartta. Kuinka tehdä tällainen kartta? Tämä ei myöskään ole vaikeaa, muinaiset egyptiläiset tiesivät kuinka tehdä se. Keskiyöllä kaksi pappia tulee ulos temppelin katolle. Jokainen heistä istuu alas ja piirtää näkemäänsä (kuten kollegansa). Kahden tuhannen vuoden jälkeen tiedämme kaiken planeettojen liikkeestä ...
Kaunis geometria tai hauskaa "matolla"
Kreikkalaiset eivät pitäneet numeroista, he turvautuivat geometriaan. Näin me teemme. Meidän pimennys ne ovat yksinkertaisia, värikkäitä, mutta yhtä mielenkiintoisia ja todellisia. Hyväksymme sopimuksen, jonka mukaan sininen hahmo liikkuu siten, että se peittää punaisen. Kutsutaan sinistä hahmoa kuuksi ja punaista auringoksi. Esitämme itsellemme seuraavat kysymykset:
- kuinka kauan pimennys kestää;
- kun puolet kohteesta on katettu;
Riisi. 1 Monivärinen "matto", jossa on aurinko ja kuu
- mikä on suurin kattavuus;
- onko mahdollista analysoida suojan peiton riippuvuutta ajasta? Tässä artikkelissa (minua rajoittaa tekstin määrä) keskityn toiseen kysymykseen. Tämän takana on hieno geometria, ehkä ilman tylsiä laskelmia. Katsotaanpa kuviota. 1. Onko mahdollista olettaa, että se liittyy ... auringonpimennykseen?
Minun on rehellisesti sanottava, että tehtävät, joista keskustelen, valitaan erityisesti keski- ja lukiolaisten tietoihin ja taitoihin mukautettuina. Mutta harjoittelemme sellaisissa tehtävissä, että muusikot soittavat asteikkoja ja urheilijat tekevät yleisiä kehitysharjoituksia. Sitä paitsi, eikö se ole vain kaunis matto (kuva 1)?
Riisi. 2 "Sininen" kuu ja "punainen" aurinko
Taivaankappaleemme ovat ainakin aluksi värillisiä neliöitä. Kuu on sininen, aurinko on punainen (paras väritykseen). nykyhetken kanssa pimennys Kuu jahtaa aurinkoa taivaalla, ottaa kiinni ... ja sulkee sen. Sama tulee olemaan meilläkin. Yksinkertaisin tapaus, kun Kuu liikkuu Auringon suhteen, kuten kuvassa 2 näkyy. 2. Pimennys alkaa, kun Kuun kiekon reuna koskettaa Auringon kiekon reunaa (kuva XNUMX) ja päättyy, kun se ylittää sen.
Riisi. 3 Kuu lähestyy aurinkoa vinottain
Oletetaan, että "Kuu" liikkuu yhden solun aikayksikköä kohti, esimerkiksi minuutissa. Pimennys kestää sitten kahdeksan aikayksikköä, esimerkiksi minuuttia. Puoli auringonpimennyksiä Täysin tumma Kellotaulun puolisko suljetaan kahdesti: 2 ja 6 minuutin kuluttua. Prosentuaalinen hämärtymiskaavio on yksinkertainen. Kahden ensimmäisen minuutin aikana kilpi sulkeutuu tasaisesti nopeudella nollasta yhteen, seuraavan kahden minuutin aikana se paljastuu samalla nopeudella.
Tässä on mielenkiintoisempi esimerkki (kuva 3). Kuu lähestyy aurinkoa vinottain. Minuuttimaksusopimuksemme mukaan pimennys kestää 8√2 minuuttia - keskellä tätä aikaa meillä on täydellinen pimennys. Lasketaan mikä osa auringosta on peitetty ajan t jälkeen (kuva 3). Jos pimennyksen alusta on kulunut t minuuttia, ja sen seurauksena Kuu on kuvan 5 mukainen. 4, niin (huomio!) Siksi se on peitetty (neliön APQR pinta-ala), joka on yhtä suuri kuin puolet aurinkolevystä; siksi se peitettiin, kun ts. 4 minuutin kuluttua (sitten XNUMX minuuttia ennen pimennyksen loppua).
Riisi. 4 Varjostustoiminnon kaavio
Kokonaisuus kestää hetken (t = 4√2), ja "varjostetun osan" funktion kaavio koostuu kahdesta paraabelien kaaresta (kuva 4).
Sininen kuumme koskettaa kulmaa punaisella auringolla, mutta se peittää sen, ei kulje vinosti, vaan hieman vinosti.Mielenkiintoinen geometria tulee esiin kun vaikeutetaan hieman liikettä (kuva 6). Liikesuunta on nyt vektori [4,3], eli "neljä solua oikealle, kolme solua ylöspäin." Auringon sijainti on sellainen, että pimennys alkaa (asento A), kun "taivaankappaleiden" sivut lähentyvät neljännekseen niiden pituudesta. Kun Kuu siirtyy asentoon B, se varmentaa kuudesosan Auringosta ja C-asennossa se varmentaa puolet. Asennossa D meillä on täydellinen pimennys, ja sitten kaikki palaa "kuten se oli".
Riisi. 5 Osa Auringosta piilossa ajan t aikana
Pimennys päättyy, kun Kuu on asennossa G. Se kesti niin kauan kuin osan pituus AG. Jos otamme, kuten ennenkin, aikayksiköksi ajan, jonka aikana Kuu kulkee "yhden neliön", niin AG:n pituus on yhtä suuri. Jos palaisimme vanhaan sopimukseen, jonka mukaan taivaankappaleemme ovat 4 x 4, tulos olisi erilainen (mitä?). Kuten on helppo näyttää, kohde sulkeutuu, kun t < 15. "Näytön peittoprosentti" -funktion kaavio näkyy kuvassa. 6.
Riisi. 6 "Prosenttisuojaus"-funktion kaavio
Pimennys- ja hyppyyhtälö
Riisi. 7 Aurinkolevyn tukos kuvassa näkyvän pimennyksen aikana. 6
Pimennysten ongelma olisi epätäydellinen, jos emme ottaisi huomioon ympyröiden tapausta. Tämä on paljon monimutkaisempi, mutta yritetään selvittää, milloin yksi ympyrä peittää puolet toisesta - ja yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun yksi niistä liikkuu molempia yhdistävää halkaisijaa pitkin. Piirustus on tuttu joidenkin luottokorttien haltijoille.
Kenttien sijainnin laskeminen on monimutkaista, koska se vaatii ensinnäkin ympyränmuotoisen segmentin pinta-alan kaavan tuntemista, toiseksi kulman kaaren tuntemista ja kolmanneksi (ja mikä pahinta) kykyä ratkaista tietyn hyppyyhtälön. En selitä mitä "transitiivinen yhtälö" on, katsotaanpa esimerkkiä (kuva 8).
Riisi. 8 "Pyöreä" pimennys
Pyöreä osa on "kulho", joka jää jäljelle suoralla ympyrän leikkaamisen jälkeen. Tällaisen segmentin pinta-ala on S = 1/2r2(φ-sinφ), jossa r on ympyrän säde ja φ on keskikulma, jossa segmentti lepää (kuva 8). Tämä saadaan helposti vähentämällä kolmion pinta-ala pyöreän sektorin pinta-alasta.
Jakso O1O2 (ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys) on tällöin yhtä suuri kuin 2rcosφ/2, ja korkeus (leveys, ”vyötärön linja”) h = 2rsinφ/2. Joten jos haluamme laskea, milloin Kuu peittää puolet aurinkolevystä, meidän on ratkaistava yhtälö: josta tulee yksinkertaistamisen jälkeen:
Riisi. 9 Kaavio kahdesta funktiosta
Tällaisten yhtälöiden ratkaisu on yksinkertaisen algebran ulkopuolella - yhtälö sisältää sekä kulmat että niiden trigonometriset funktiot. Yhtälö on perinteisten menetelmien ulottumattomissa. Siksi sitä kutsutaan hypätä. Katsotaan ensin molempien funktioiden eli funktioiden ja funktioiden graafit, tästä kuvasta voidaan lukea likimääräinen ratkaisu. Voimme kuitenkin saada iteratiivisen likiarvon tai… käyttää Excel-laskentataulukon Ratkaisija-vaihtoehtoa. Jokaisen lukiolaisen pitäisi pystyä tekemään tämä, koska on 20-luku. Käytin kehittyneempää Mathematica-työkalua ja tässä on ratkaisumme, jossa on tarpeettoman tarkkuutta XNUMX desimaalilla:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Riisi. 10 Pimennysanimaatio matematicassa
Muutamme tämän asteina kertomalla luvulla 180/π. Saamme 132 astetta, 20 minuuttia, 45 ja neljännes kaarisekuntia. Laskemme, että etäisyys ympyrän keskipisteestä on O1O2 = 0,808 säde ja "vyötärö" 2,310.
