käänteinen viehätys

"Vastakohtien viehätyksestä" puhutaan paljon, eikä vain matematiikassa. Muista, että vastakkaiset luvut ovat niitä, jotka eroavat vain etumerkillä: plus 7 ja miinus 7. Vastakkaisten lukujen summa on nolla. Mutta meille (eli matemaatikoille) käänteisluvut ovat mielenkiintoisempia. Jos lukujen tulo on yhtä suuri kuin 1, niin nämä luvut ovat käänteisiä toisilleen. Jokaisella luvulla on vastakohta, jokaisella nollasta poikkeavalla luvulla on käänteensä. Käänteisluvun käänteisluku on siemen.

Inversio tapahtuu aina, kun kaksi suureet liittyvät toisiinsa siten, että jos toinen kasvaa, toinen pienenee vastaavalla nopeudella. "Relevantti" tarkoittaa, että näiden määrien tulo ei muutu. Muistamme koulusta: tämä on käänteinen suhde. Jos haluan päästä määränpäähäni kaksi kertaa nopeammin (eli puolittaa ajan), minun on tuplattava nopeus. Jos suljetun kaasuastian tilavuutta pienennetään n kertaa, niin sen paine kasvaa n kertaa.

Perusopetuksessa erotamme tarkasti eron ja suhteelliset vertailut. "Kuinka paljon enemmän"? - "Kuinka monta kertaa enemmän?"

Tässä on joitain koulun aktiviteetteja:

1-työ. Kahdesta positiivisesta arvosta ensimmäinen on 5 kertaa suurempi kuin toinen ja samalla 5 kertaa suurempi kuin ensimmäinen. Mitkä ovat mitat?

2-työ. Jos yksi luku on 3 suurempi kuin toinen ja toinen on 2 suurempi kuin kolmas, kuinka paljon suurempi on ensimmäinen luku kuin kolmas? Jos ensimmäinen positiivinen luku on kaksi kertaa toinen ja ensimmäinen numero on kolme kertaa kolmas, kuinka monta kertaa ensimmäinen luku on suurempi kuin kolmas?

3-työ. Tehtävässä 2 sallitaan vain luonnolliset luvut. Onko tällainen siellä kuvattu järjestely mahdollinen?

4-työ. Kahdesta positiivisesta arvosta ensimmäinen on 5 kertaa toinen ja toinen on 5 kertaa ensimmäinen. Onko se mahdollista?

Käsite "keskiarvo" tai "keskiarvo" näyttää hyvin yksinkertaiselta. Jos pyöräilin maanantaina 55 km, tiistaina 45 km ja keskiviikkona 80 km, pyöräilin keskimäärin 60 km päivässä. Olemme täysin samaa mieltä näistä laskelmista, vaikka ne ovatkin hieman outoja, koska en ole ajanut 60 km yhdessä päivässä. Yhtä helposti hyväksymme henkilön osuudet: jos kaksisataa ihmistä vierailee ravintolassa kuudessa päivässä, niin keskimääräinen päivähinta on 33 ja kolmasosa. HM!

Ongelmia on vain keskikoon kanssa. Pidän pyöräilystä. Joten hyödynsin matkatoimiston "Let's go with us" tarjousta - he toimittavat matkatavarat hotelliin, jossa asiakas ajaa polkupyörällä virkistystarkoituksiin. Perjantaina ajoin neljä tuntia: kaksi ensimmäistä 24 km/h nopeudella. Sitten väsyin niin, että seuraavat kaksi vain 16 tunnissa. Mikä oli keskinopeusni? Tietenkin (24+16)/2=20km=20km/h.

Lauantaina kuitenkin matkatavarat jätettiin hotellille ja menin katsomaan linnan rauniot, jotka ovat 24 km päässä ja nähtyään palasin takaisin. Ajoin tunnin yhteen suuntaan, palasin takaisin hitaammin, 16 km/h nopeudella. Mikä oli keskinopeusni reitillä hotelli-linna-hotelli? 20 km/h? Ei tietenkään. Ajoin loppujen lopuksi yhteensä 48 km ja matkaan meni tunti ("siellä") ja puolitoista tuntia taaksepäin. 48 km kahdessa ja puolessa tunnissa, ts. tunti 48/2,5=192/10=19,2 km! Tässä tilanteessa keskinopeus ei ole aritmeettinen keskiarvo, vaan annettujen arvojen harmoninen:

ja tämä kaksikerroksinen kaava voidaan lukea seuraavasti: positiivisten lukujen harmoninen keskiarvo on niiden käänteisluvun aritmeettisen keskiarvon käänteisluku. Käänteissumman käänteisluku esiintyy monissa koulutehtävien kuoroissa: jos yksi työntekijä kaivaa tuntia, toinen - b tuntia, niin yhdessä työskentelemällä he kaivavat ajallaan. vesiallas (yksi tunnissa, toinen b tuntia). Jos yhdellä vastuksella on R1 ja toisella R2, niillä on rinnakkaisvastus. 

Jos yksi tietokone pystyy ratkaisemaan ongelman sekunneissa, toinen tietokone b sekunnissa, sitten kun ne toimivat yhdessä...

Lopettaa! Tähän analogia päättyy, koska kaikki riippuu verkon nopeudesta: yhteyksien tehokkuudesta. Työntekijät voivat myös estää tai auttaa toisiaan. Jos yksi mies osaa kaivaa kaivon kahdeksassa tunnissa, pystyykö kahdeksankymmentä työntekijää tekemään sen 1/10 tunnissa (tai 6 minuutissa)? Jos kuusi kantajaa vie pianon ensimmäiseen kerrokseen kuudessa minuutissa, kuinka kauan kestää yhdellä heistä toimittaa piano 6. kerrokseen? Tällaisten ongelmien absurdisuus tuo mieleen kaiken matematiikan rajallisen sovellettavuuden "elämästä peräisin oleviin" ongelmiin.

Voimakkaasta myyjästä 

Vaakoja ei enää käytetä. Muista, että tällaisten vaakojen yhteen kulhoon asetettiin paino ja toiselle punnittavat tavarat, ja kun paino oli tasapainossa, tavara painoi yhtä paljon kuin paino. Tietenkin painokuorman molempien käsivarsien on oltava yhtä pitkiä, muuten punnitus on virheellinen.

Ai niin. Kuvittele myyjää, jolla on erilainen painovoima. Hän haluaa kuitenkin olla rehellinen asiakkaille ja punnitsee tavarat kahdessa erässä. Ensin hän laittaa painon yhdelle pannulle ja toiselle vastaavan määrän tavaroita - niin, että vaaka on tasapainossa. Sitten hän punnitsee tavaran toisen "puolikkaan" käänteisessä järjestyksessä, eli hän asettaa painon toiseen kulhoon ja tavarat ensimmäiseen. Koska kädet ovat eriarvoisia, "puolikkaat" eivät ole koskaan samanarvoisia. Ja myyjän omatunto on puhdas, ja ostajat ylistävät hänen rehellisyyttään: "Mitä täältä poistin, sen sitten lisäsin."

Tarkastellaanpa kuitenkin tarkemmin sellaisen myyjän käyttäytymistä, joka haluaa olla rehellinen epävarmasta painosta huolimatta. Olkoon vaa'an käsivarsien pituudet a ja b. Jos toiseen kulhoon on ladattu kilon paino ja toiseen x tavaraa, niin vaaka ovat tasapainossa, jos ax = b ensimmäisellä kerralla ja bx = a toisella kerralla. Joten tavaroiden ensimmäinen osa on yhtä suuri kuin b / kilogramma, toinen osa on a / b. Hyvällä painolla on a = b, joten ostaja saa 2 kg tavaraa. Katsotaan mitä tapahtuu, kun a ≠ b. Sitten a – b ≠ 0 ja pelkistetystä kertolaskukaavasta saamme

Pääsimme odottamattomaan tulokseen: näennäisesti oikeudenmukainen menetelmä "keskiarvon laskemiseksi" tässä tapauksessa toimii ostajalle, joka saa enemmän tavaroita.

5-tehtävä. (Tärkeää, ei suinkaan matematiikassa!). Hyttynen painaa 2,5 milligrammaa ja norsu viisi tonnia (tämä on aivan oikea tieto). Laske hyttysten ja norsujen massojen (painojen) aritmeettinen keskiarvo, geometrinen keskiarvo ja harmoninen keskiarvo. Tarkista laskelmat ja katso, onko niissä mitään järkeä aritmeettisten harjoitusten lisäksi. Katsotaanpa muita esimerkkejä matemaattisista laskelmista, joilla ei ole järkeä "oikeassa elämässä". Vinkki: Olemme jo tarkastelleet yhtä esimerkkiä tässä artikkelissa. Tarkoittaako tämä, että anonyymi opiskelija, jonka mielipiteen löysin Internetistä, oli oikeassa: "Matematiikka huijaa ihmisiä numeroilla"?

Kyllä, olen samaa mieltä siitä, että matematiikan loistossa voi "huijata" ihmisiä - joka toinen shampoomainos sanoo, että se lisää pörröisyyttä jollain prosentilla. Etsitäänkö muita esimerkkejä hyödyllisistä jokapäiväisistä työkaluista, joita voidaan käyttää rikolliseen toimintaan?

Mummia!

Tämän kohdan otsikko on verbi (monikon ensimmäinen persoona), ei substantiivi (kilogramman tuhannesosan nimitysmonikko). Harmonia merkitsee järjestystä ja musiikkia. Muinaisille kreikkalaisille musiikki oli tieteenala - on myönnettävä, että jos sanomme niin, siirrämme sanan "tiede" nykyisen merkityksen aikakauttamme edeltävään aikaan. Pythagoras eli XNUMX. vuosisadalla eKr.. Hän ei vain tuntenut tietokonetta, matkapuhelinta ja sähköpostia, mutta hän ei myöskään tiennyt keitä Robert Lewandowski, Mieszko I, Kaarle Suuri ja Cicero olivat. Hän ei tiennyt arabialaisia ​​eikä edes roomalaisia ​​numeroita (ne otettiin käyttöön noin XNUMX. vuosisadalla eKr.), hän ei tiennyt mitä puunilaiset sodat olivat ... Mutta hän tiesi musiikin ...

Hän tiesi, että kielisoittimissa värähtelykertoimet olivat kääntäen verrannollisia kielten värähtelevien osien pituuteen. Hän tiesi, hän tiesi, hän ei vain osannut ilmaista sitä niin kuin me teemme sen tänään.

Kahden oktaavin muodostavan kielevärähtelyn taajuudet ovat suhteessa 1:2, eli ylemmän sävelen taajuus on kaksi kertaa alemman sävelen taajuus. Oikea tärinäsuhde kvintille on 2:3, 3:lle 4:4, puhtaalle suurelle tertsille 5:5, pienelle tertsille 6:6. Nämä ovat miellyttäviä konsonanttiväliä. Sitten on kaksi neutraalia, joiden värähtelysuhteet ovat 7:7 ja 8:8, sitten dissonantteja - iso ääni (9:9), pieni ääni (10:XNUMX). Nämä murtoluvut (suhteet) ovat kuin sekvenssin peräkkäisten jäsenten suhteet, joita matemaatikot (sitä syystä) kutsuvat harmoniseksi sarjaksi:

on teoreettisesti ääretön summa. Oktaavin värähtelyjen suhde voidaan kirjoittaa 2:4 ja laittaa niiden väliin kvintti: 2:3:4, eli jaamme oktaavin kvintiksi ja neljänneksi. Tätä kutsutaan matematiikassa harmonisten segmenttien jakamiseksi:

Riisi. 1. Muusikko: oktaavin AB jakaminen viidenteen AC:hen.Matemaatikko: Harmoninen segmentointi

Mitä tarkoitan, kun puhun (edellä) teoreettisesti äärettömästä summasta, kuten harmonisesta sarjasta? Osoittautuu, että tällainen summa voi olla mikä tahansa suuri luku, tärkeintä on, että lisäämme pitkään. Ainesosia on yhä vähemmän, mutta niitä tulee yhä enemmän. Mikä vallitsee? Tässä astumme matemaattisen analyysin alueelle. Osoittautuu, että ainekset ovat lopussa, mutta ei kovin nopeasti. Näytän, että ottamalla riittävästi ainesosia voin tehdä yhteenvedon:

mielivaltaisen suuri. Otetaan "esimerkiksi" n = 1024. Ryhmitetään sanat kuvan osoittamalla tavalla:

Jokaisessa sulussa jokainen sana on suurempi kuin edellinen, paitsi tietysti viimeinen, joka on yhtä suuri kuin se itse. Seuraavissa suluissa on 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ja 512 komponenttia; kussakin sulussa olevan summan arvo on suurempi kuin ½. Kaikki tämä on enemmän kuin 5½. Tarkemmat laskelmat osoittaisivat, että tämä summa on noin 7,50918. Ei paljon, mutta aina, ja voit nähdä, että ottamalla n minkä tahansa suuren, voin menestyä paremmin minkä tahansa luvun. Tämä on uskomattoman hidas (esimerkiksi olemme kymmenen kärjessä pelkällä ainesosalla), mutta ääretön kasvu on aina kiehtonut matemaatikoita.

Matka äärettömyyteen harmonisten sarjan kanssa

Tässä on palapeli melko vakavaan matematiikkaan. Meillä on rajoittamaton määrä suorakaiteen muotoisia lohkoja (mitä voin sanoa, suorakaiteen muotoisia!), joiden mitat ovat esimerkiksi 4 × 2 × 1. Tarkastellaan järjestelmää, joka koostuu useista (päällä kuva 2 - neljä) lohkoa, jotka on järjestetty siten, että ensimmäinen on kalteva ½ pituudestaan, toinen ylhäältä ¼ ja niin edelleen, kolmas yhden kuudesosan verran. No, ehkä jotta se olisi todella vakaa, kallistataan ensimmäistä tiiltä hieman vähemmän. Laskelmien kannalta sillä ei ole väliä.

Riisi. 2. Painopisteen määrittäminen

On myös helppo ymmärtää, että koska kahdesta ensimmäisestä lohkosta koostuvalla kuviolla (ylhäältä laskettuna) on symmetriapiste pisteessä B, niin B on painopiste. Määritellään geometrisesti järjestelmän painopiste, joka koostuu kolmesta ylemmästä lohkosta. Hyvin yksinkertainen argumentti riittää tähän. Jaetaan henkisesti kolmen lohkon koostumus kahteen ylempään ja kolmanteen alempaan. Tämän keskuksen on sijaittava alueella, joka yhdistää näiden kahden osan painopisteet. Missä vaiheessa tässä jaksossa?

On kaksi tapaa nimetä. Ensimmäisessä käytämme havaintoa, että tämän keskuksen on sijaittava kolmen lohkon pyramidin keskellä, eli suoralla viivalla, joka leikkaa toisen, keskilohkon. Toisella tavalla ymmärrämme, että koska kahden ylimmän lohkon kokonaismassa on kaksi kertaa yhden kappaleen nro 3 (yläosa) kokonaismassa, painopisteen tällä osalla on oltava kaksi kertaa niin lähellä B:tä kuin keskustaa. Kolmannen lohkon S. Samalla tavalla löydämme seuraavan pisteen: yhdistämme kolmen lohkon löydetyn keskustan neljännen lohkon keskustaan ​​S. Koko järjestelmän keskipiste on korkeudella 2 ja kohdassa, joka jakaa segmentin luvulla 1-3 (eli ¾ sen pituudesta).

Laskelmat, jotka suoritamme hieman pidemmälle, johtavat kuvassa XNUMX esitettyyn tulokseen. rys. viisi. Peräkkäiset painopisteet poistetaan alalohkon oikeasta reunasta seuraavasti:

Siten pyramidin painopisteen projektio on aina kannan sisällä. Torni ei kaadu. Katsotaan nyt kuva 3 ja käytetään hetki pohjana viidettä lohkoa ylhäältä (kirkkaammalla värillä merkitty). Ylhäällä kalteva:

siten sen vasen reuna on 1 kauempana kuin pohjan oikea reuna. Tässä seuraava swing:

Mikä on suurin swing? Tiedämme jo! Ei ole suurinta! Pienimmätkin lohkot huomioiden saat yhden kilometrin ylityksen - valitettavasti vain matemaattisesti: koko maapallo ei riittäisi rakentamaan niin montaa lohkoa!

Riisi. 3. Lisää lohkoja

Nyt laskelmat, jotka jätimme yllä. Laskemme kaikki etäisyydet "vaakasuunnassa" x-akselilla, koska siinä on kaikki. Piste A (ensimmäisen kappaleen painopiste) on 1/2 etäisyydellä oikeasta reunasta. Piste B (kahden lohkon järjestelmän keskipiste) on 1/4 etäisyydellä toisen lohkon oikeasta reunasta. Olkoon aloituspiste toisen lohkon loppu (nyt siirrymme kolmanteen). Esimerkiksi missä on yksittäisen lohkon #3 painopiste? Puolet tämän lohkon pituudesta on siis 1/2 + 1/4 = 3/4 vertailupisteestämme. Missä on piste C? Kahdessa kolmasosassa segmentistä 3/4 ja 1/4 välillä, eli edellisessä kohdassa, muutetaan vertailupiste kolmannen lohkon oikeaan reunaan. Kolmilohkojärjestelmän painopiste on nyt poistettu uudesta vertailupisteestä ja niin edelleen. Painopiste C_n n lohkosta koostuva torni on 1/2n etäisyydellä hetkellisestä vertailupisteestä, joka on peruslohkon oikea reuna eli n:s lohko ylhäältä.

Koska käänteissarjat eroavat, voimme saada minkä tahansa suuren vaihtelun. Voidaanko tämä oikeasti toteuttaa? Se on kuin loputon tiilitorni - ennemmin tai myöhemmin se romahtaa oman painonsa alla. Kaavassamme lohkosijoittelun minimaaliset epätarkkuudet (ja sarjan osittaisten summien hidas kasvu) tarkoittavat, että emme pääse kovin pitkälle.