viisi kertaa silmään
Vuoden 2020 lopussa yliopistoissa ja kouluissa järjestettiin useita tapahtumia, jotka siirrettiin ... maaliskuuta. Yksi niistä oli pi-päivän "juhla". Tässä yhteydessä 8. joulukuuta pidin etäluennon Sleesian yliopistossa, ja tämä artikkeli on tiivistelmä luennosta. Koko juhla alkoi klo 9.42 ja luentoni on 10.28. Mistä tällainen tarkkuus tulee? Se on yksinkertaista: 3 kertaa pi on noin 9,42, ja π 2. potenssiin on noin 9,88 ja tunti 9 88. potenssiin on 10 - 28 ...
Tapana kunnioittaa tätä numeroa, ilmaisee ympyrän kehän suhdetta sen halkaisijaan ja jota joskus kutsutaan Arkhimedes-vakioksi (sekä saksankielisissä kulttuureissa), tulee Yhdysvalloista (Katso myös: ). 3.14 Maaliskuu “American style” klo 22:22, tästä idea. Puolan vastine voisi olla 7. heinäkuuta, koska murtoluku 14/XNUMX on hyvin lähellä arvoa π, jonka… Arkimedes tiesi jo. No, maaliskuu XNUMX on paras aika sivutapahtumille.
Nämä kolme ja neljätoista sadasosaa ovat yksi harvoista matemaattisista viesteistä, jotka ovat jääneet meille koulusta loppuelämäksi. Kaikki tietävät mitä se tarkoittaa"viisi kertaa silmään". Se on niin juurtunut kieleen, että sitä on vaikea ilmaista eri tavalla ja samalla suloisesti. Kun kysyin autokorjaamolla, kuinka paljon korjaus voisi maksaa, mekaanikko mietti asiaa ja sanoi: "viisi kertaa noin kahdeksansataa zlotya." Päätin käyttää tilannetta hyväkseni. "Tarkoitatko karkeaa arviota?". Mekaanikko luuli, että olin kuullut väärin, joten hän toisti: "En tiedä tarkalleen kuinka paljon, mutta viisi kertaa silmällä olisi 800."
.
Mitä se koskee? Toista maailmansotaa edeltävä oikeinkirjoitus käytti "ei" yhdessä, ja jätin sen sinne. Emme ole tekemisissä turhan suurenmoisen runouden kanssa, vaikka pidänkin ajatuksesta, että "kultainen laiva pumppaa onnea". Kysy oppilailta: Mitä tämä ajatus tarkoittaa? Mutta tämän tekstin arvo on muualla. Seuraavien sanojen kirjainten määrä on pi-laajennuksen numeroita. Katsotaan:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
Vuonna 1596 saksalaista alkuperää oleva hollantilainen tiedemies Ludolph van Seulen laski pi:n arvon 35 desimaalin tarkkuudella. Sitten nämä hahmot kaiverrettiin hänen hautaan. Hän omisti runon numerolle pi ja Nobel-palkinnon saajillemme, Vislava Shimborska. Szymborskaa kiehtoi tämän numeron epäsäännöllisyys ja se, että todennäköisyydellä 1 jokainen numerosarja, kuten puhelinnumeromme, esiintyy siellä. Ensimmäinen ominaisuus sisältyy jokaiseen irrationaaliseen numeroon (joka meidän pitäisi muistaa koulusta), mutta toinen on mielenkiintoinen matemaattinen tosiasia, jota on vaikea todistaa. Löydät jopa sovelluksia, jotka tarjoavat: anna puhelinnumerosi, niin kerron missä se on pi:ssä.
Missä on pyöreyttä, siellä on unta. Jos meillä on pyöreä järvi, niin sen ympärillä kävely on 1,57 kertaa pidempi kuin uinti. Tämä ei tietenkään tarkoita, että uimme puolitoista tai kaksi kertaa hitaammin kuin ohitamme. Jaoin 100 metrin maailmanennätyksen 100 metrin maailmanennätyksen kanssa. Mielenkiintoista on, että miesten ja naisten tulos on lähes sama ja on 4,9. Me uimme 5 kertaa hitaammin kuin juoksemme. Soutu on täysin erilaista - mutta mielenkiintoinen haaste. Siinä on melko pitkä tarina.
Paetessaan takaa-ajavaa Roistoa komea ja jalo Hyvä Purjehti järvelle. Pahis juoksee pitkin rantaa ja odottaa, että tämä saa hänet laskeutumaan. Tietenkin hän juoksee nopeammin kuin Dobry rivit, ja jos hän juoksee sujuvasti, Dobry on nopeampi. Joten Pahan ainoa mahdollisuus on saada Hyvä rannalta - tarkka laukaus revolverista ei ole vaihtoehto, koska. Hyvällä on arvokasta tietoa, jonka Paha haluaa tietää.
Hyvä noudattaa seuraavaa strategiaa. Hän ui järven yli, lähestyen vähitellen rantaa, mutta yrittää aina olla vastakkaisella puolella Pahaa, joka juoksee satunnaisesti vasemmalle, sitten oikealle. Tämä näkyy kuvassa. Olkoon Evilin lähtöpaikka Z1, ja Dobre on keskellä järveä. Kun Zly muuttaa Z:hen1, Dobro purjehtii D.1kun Bad on Z:ssä2, hyvä D:lle2. Se virtaa siksak-maisesti, mutta sääntöä noudattaen: mahdollisimman kauas Z:stä. Kuitenkin, kun se liikkuu pois järven keskustasta, hyvän täytyy liikkua yhä suurempia ympyröitä, eikä se voi jossain vaiheessa liikkua. noudata periaatetta "olla pahan toisella puolella". Sitten hän souteli kaikin voimin rantaan toivoen, ettei Paholainen ohittaisi järveä. Onnistuuko Good?
Vastaus riippuu siitä, kuinka nopeasti Hyvä voi soutaa suhteessa Pahan jalkojen arvoon. Oletetaan, että Paha Mies juoksee nopeudella, joka on s-kertainen järvellä olevan Hyvän miehen nopeudelle. Siksi suurimman ympyrän, jolla Hyvä voi soutaa vastustaakseen pahaa, säde on kerran pienempi kuin järven säde. Joten piirustuksessa meillä on. Pisteessä W meidän Kind alkaa soutaa kohti rantaa. Tämän täytyy mennä
nopeudella
Hän tarvitsee aikaa.
Wicked jahtaa parhaita jalkojaan. Hänen on suoritettava puolet ympyrästä, mikä kestää sekunteja tai minuutteja valituista yksiköistä riippuen. Jos tämä on enemmän kuin onnellinen loppu:
Hyvä lähtee. Yksinkertaiset tilit osoittavat, mitä sen pitäisi olla. Jos Paha mies juoksee nopeammin kuin 4,14 kertaa Hyvä mies, se ei pääty hyvin. Ja tässäkin meidän numeromme puuttuu asiaan.
Se mikä on pyöreää, on kaunista. Katsotaanpa valokuvaa kolmesta koristelautasesta - minulla on ne vanhempieni jälkeen. Mikä on niiden välisen kaarevan kolmion pinta-ala? Tämä on yksinkertainen tehtävä; vastaus on samassa kuvassa. Emme ole yllättyneitä siitä, että se esiintyy kaavassa - loppujen lopuksi missä on pyöreyttä, siellä on pi.
Käytin ehkä tuntematonta sanaa:. Tämä on luvun pi nimi saksankielisessä kulttuurissa, ja kaikki tämä hollantilaisten ansiosta (itse asiassa saksalainen, joka asui Alankomaissa - kansallisuudella ei ollut väliä tuolloin), Ludolf Soulenista... Vuonna 1596 g. hän laski 35 numeroa laajennuksestaan desimaaleihin. Tämä ennätys säilyi vuoteen 1853 asti, jolloin William Rutherford 440 paikkaa. Manuaalisten laskelmien ennätys on (luultavasti ikuisesti) William Shanksjoka monien vuosien työn jälkeen julkaisi (vuonna 1873) laajennus 702 numeroon. Vain vuonna 1946 viimeiset 180 numeroa todettiin virheellisiksi, mutta niin se pysyi. 527 oikein. Oli mielenkiintoista löytää itse vika. Pian Shanksin tuloksen julkaisun jälkeen he epäilivät, että "jotain oli vialla" - seitsemää oli kehitteillä epäilyttävän vähän. Toistaiseksi todistamaton (joulukuu 2020) hypoteesi sanoo, että kaikkien numeroiden tulee esiintyä samalla tiheydellä. Tämä sai D.T. Fergusonin tarkistamaan Shanksin laskelmia ja löytämään "oppijan" virheen!
Myöhemmin laskimet ja tietokoneet auttoivat ihmisiä. Nykyinen (joulukuu 2020) ennätyksen haltija on Timothy Mullican (50 biljoonaa desimaalin tarkkuutta). Laskelmat kestivät ... 303 päivää. Pelataan: kuinka paljon tilaa tämä numero vie, painettuna tavalliseen kirjaan. Viime aikoihin asti tekstin painettu "puoli" oli 1800 merkkiä (30 riviä x 60 riviä). Vähennetään merkkien ja sivumarginaalien määrää, täytetään 5000 merkkiä sivulle ja tulostetaan 50 sivun kirjat. Joten XNUMX biljoonaa merkkiä tarvitsisi kymmenen miljoonaa kirjaa. Ei paha, eikö?
Kysymys kuuluukin, mitä järkeä tuollaisessa kamppailussa on? Puhtaasti taloudellisesta näkökulmasta, miksi veronmaksajien pitäisi maksaa sellaisesta matemaatikoiden "viihteestä"? Vastaus ei ole vaikea. Ensimmäinen, Soulenista keksi aihiot laskelmia varten, hyödyllinen logaritmisissa laskelmissa. Jos hänelle olisi sanottu: ole hyvä, rakenna aihioita, hän olisi vastannut: miksi? Samoin komento:. Kuten tiedätte, tämä löytö ei ollut täysin vahingossa, mutta kuitenkin erityyppisen tutkimuksen sivutuote.
Toiseksi, luetaan, mitä hän kirjoittaa Timothy Mullican. Tässä on kopio hänen teoksensa alusta. Professori Mullican on kyberturvallisuuden parissa, ja pi on niin pieni harrastus, että hän testasi juuri uutta kyberturvajärjestelmäänsä.
Ja se 3,14159 suunnittelussa on enemmän kuin tarpeeksi, se on toinen asia. Tehdään yksinkertainen laskelma. Jupiter on 4,774 Tm:n etäisyydellä Auringosta (terametri = 1012 metriä). Tällaisen säteen omaavan ympyrän kehän laskemiseksi absurdilla 1 millimetrin tarkkuudella riittäisi π = 3,1415926535897932.
Seuraavassa kuvassa on neljännesympyrä Lego-palikoita. Käytin 1774 tyynyjä ja se oli noin 3,08 pi. Ei paras, mutta mitä odottaa? Ympyrä ei voi muodostua neliöistä.
Tarkalleen. Numeron pi tiedetään olevan ympyrän neliö - matemaattinen ongelma, joka on odottanut ratkaisuaan yli 2000 vuotta - Kreikan ajoista lähtien. Voitko rakentaa kompassin ja suoraviivan avulla neliön, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin annetun ympyrän pinta-ala?
Termi "ympyrän neliö" on tullut puhuttuun kieleen symbolina jotain mahdottomasta. Painan näppäintä kysyäkseni, onko tämä jonkinlainen yritys täyttää vihamielisyyden kuoppa, joka erottaa kauniin maamme kansalaiset? Mutta vältän jo tätä aihetta, koska tunnen luultavasti vain matematiikkaa.
Ja taas sama asia - ympyrän neliöintiongelman ratkaisu ei ilmestynyt sillä tavalla, että ratkaisun kirjoittaja, Charles Lindemann, vuonna 1882 hänet perustettiin ja lopulta onnistui. Jossain määrin kyllä, mutta se oli seurausta laajalta rintamalta tehdystä hyökkäyksestä. Matemaatikot ovat oppineet, että on olemassa erilaisia lukuja. Ei vain kokonaislukuja, rationaalisia (eli murto-osia) ja irrationaalisia. Myös mittaamattomuus voi olla parempaa tai huonompaa. Saatamme muistaa koulusta, että irrationaalinen luku on √2 - luku, joka ilmaisee neliön diagonaalin pituuden suhteen sen sivun pituuteen. Kuten kaikilla irrationaalisilla luvuilla, sillä on rajoittamaton laajennus. Muistutan, että jaksollinen laajeneminen on rationaalisten lukujen ominaisuus, ts. yksityiset kokonaisluvut:
Tässä lukusarja 142857 toistuu loputtomasti. √2:lle näin ei tapahdu - tämä on osa irrationaalisuutta. Mutta sinä voit:
(murto-osa jatkuu ikuisesti). Näemme tässä kuvion, mutta erilaista. Pi ei ole edes kovin yleinen. Sitä ei voida saada ratkaisemalla algebrallinen yhtälö - eli sellainen, jossa ei ole neliöjuurta, logaritmia eikä trigonometrisiä funktioita. Tämä jo osoittaa, että se ei ole konstruoitavissa - ympyröiden piirtäminen johtaa toisen asteen funktioihin ja suorat - suorat - ensimmäisen asteen yhtälöihin.
Ehkä poikkesin pääjuonesta. Ainoastaan kaiken matematiikan kehitys mahdollisti palaamisen alkuperään - niiden ajattelijoiden muinaiseen kauniiseen matematiikkaan, jotka loivat meille eurooppalaisen ajatuskulttuurin, jota jotkut ovat nykyään niin kyseenalaisia.
Monista edustavista malleista valitsin kaksi. Ensimmäisen niistä yhdistämme sukunimeen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Mutta hänet tunsi (malli, ei Leibniz) Sangamagramin keskiaikainen hindututkija Madhava (1350-1425). Tiedonsiirto ei tuolloin ollut mahtavaa - Internet-yhteydet olivat usein bugisia, eikä matkapuhelimiin ollut akkuja (koska elektroniikkaa ei ollut vielä keksitty!). Kaava on kaunis, mutta hyödytön laskelmiin. Sadasta ainesosasta saadaan "vain" 3,15159.
hän on vähän parempi wzór Viète'a (se asteen yhtälöistä) ja sen kaava on helppo ohjelmoida, koska tulon seuraava termi on edellisen plus kahden neliöjuuri.
Tiedämme, että ympyrä on pyöreä. Voimme sanoa, että tämä on 100-prosenttinen kierros. Matemaatikko kysyy: eikö jokin voi olla 1 prosentin pyöreä? Ilmeisesti tämä on oksymoroni, lause, joka sisältää piilotetun ristiriidan, kuten esimerkiksi kuuma jää. Mutta yritetään mitata kuinka pyöreitä muodot voivat olla. Osoittautuu, että hyvä mitta saadaan seuraavalla kaavalla, jossa S on pinta-ala ja L on kuvion ympärysmitta. Selvitetään, että ympyrä on todella pyöreä, että sigma on 6. Ympyrän pinta-ala on ympyrä. Lisäämme ... ja katsomme, mikä on oikein. Kuinka pyöreä neliö on? Laskelmat ovat yhtä yksinkertaisia, en edes anna niitä. Otetaan säännöllinen kuusikulmio, joka on piirretty säteen omaavaan ympyrään. Kehä on selvästi XNUMX.
napa
Entä tavallinen kuusikulmio? Sen ympärysmitta on 6 ja sen pinta-ala
Meillä on siis
joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,952. Kuusikulmio on yli 95 % "pyöreä".
Mielenkiintoinen tulos saadaan laskettaessa urheilustadionin pyöreyttä. IAAF:n sääntöjen mukaan suorien ja mutkien tulee olla 40 metriä pitkiä, vaikka poikkeamatkin ovat sallittuja. Muistan, että Bislet Stadium Oslossa oli kapea ja pitkä. Kirjoitan "oli", koska juoksin jopa sillä (amatöörille!), mutta yli XNUMX vuotta sitten. Katsotaanpa:
Jos kaaren säde on 100 metriä, kaaren säde on metriä. Nurmikon pinta-ala on neliömetriä ja sen ulkopuolella (jossa on ponnahduslaudat) neliömetriä. Yhdistetään tämä kaavaan:
Onko urheilustadionin pyöreydellä mitään tekemistä tasasivuisen kolmion kanssa? Koska tasasivuisen kolmion korkeus on yhtä monta kertaa sivu. Se on satunnainen numeroiden yhteensattuma, mutta se on mukavaa. Pidän siitä. Ja lukijat?
No, on hyvä, että se on pyöreä, vaikka jotkut saattavat vastustaa, koska virus, joka vaikuttaa meihin kaikkiin, on pyöreä. Ainakin näin ne piirtävät.
